Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2: 378-4*94+2.
Описанный процесс является основой деления уголком:
378| _4
-36 94
18
-16
2
Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление – значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316=52q+r, 0<r<52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q<4316<52(q+1).
Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q – двузначное число), так как 520<4316<5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20,30,40,50 и т.д. Поскольку 52*80=4160, а 52*90=4680 и 4160<4316<4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т. е. q=80+q0. Но тогда должны выполняться неравенства:
52*(80+q0)<4316<52*(80+q0+1),
4160+52q0<4316<4160+52*(q0+1),
52q0<156<52*(q0+1).
Число q0 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156=52*3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.
Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:
43161|_52
-416
156
-156
0
Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.
1. Если a=b, то частное q=1, остаток r=0.
2. Если a>b и число разрядов в числах a и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9, так как a<10b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел a и b.
3. Если a>b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:
а) выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1, больше или равное b. Перебором находим частное q1 чисел d1 и b, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Записываем q1 под уголком (ниже b).
б) умножаем b на q1 и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq1 был написан под младшим разрядом выделенного числа d1.
в) проводим черту под bq, и находим разность r1=d1-bd1.
г) записываем разность r1 под числом bq1 , приписываем справа к r1 старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d2 с числом b.
д) если полученное число d2 больше или равно b , то относительно него поступаем согласно п.1 или п.2. Частное q2 записываем после q1.
е) если полученное число d2 меньше b , то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d3, большее или равное b . В этом случае записываем после q1 такое же число нулей. Затем относительно d3 поступаем согласно пп. 1,2. Частное q2 записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа a окажется, что d3<b, то тогда частное чисел d3 и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частному, а остаток r=d3 .
2.3. Методика ознакомления младших школьников с нумерацией многозначных чисел и системой счисления.
Нумерация многозначных чисел и действия над ними выделяются в особый концентр потому, что нумерация чисел за пределами 1000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Необходимо раскрыть это важнейшее понятие нашей системы счисления.
Арифметические действия над многозначными числами выполняются с использованием как устных, так и письменных приемов вычислений – одна из основных задач изучения действий над многозначными числами.
Порядок изучения вопросов в концентре «Многозначные числа» такой: нумерация, сложение и вычитание, умножение и деление.
Основные задачи учителя при изучении темы «Многозначные числа» - сформировать понятие о новой счетной единице – тысяче как единице второго класса; опираясь на понятие класса, научить читать и записывать многозначные числа; обобщить знания детей о нумерации целых неотрицательных чисел.
На этапе подготовки к изучению темы необходимо закрепить знания детей о соотношении известных им разрядных единиц, о десятичном составе трехзначных чисел, о натуральной последовательности чисел в пределах 1000, о принципах записи трехзначных чисел. С этой целью на уроках, предшествующих изучению нумераций многозначных чисел, включают такие задания:
1) Сколько единиц в одном десятке, сколько десятков в одной сотне. Не сколько одна сотня меньше тысячи, во сколько раз десяток большие единицы, во сколько раз десяток меньше сотни, как по-другому называется десяток миллиметров, сотня сантиметров и т. п.?
2) Какое число состоит из 7 сотен 5 десятков; из 2 единиц III разряда, 2 единиц II разряда и 2 единиц I разряда? Сколько единиц каждого разряда в числе 995? Сколько в нем всего единиц, сколько всего десятков? Замените число 380 (308, 388) суммой разрядных слагаемых.
3) Присчитывайте (отсчитывайте) по 1 (по 10,50,100), начиная с числа 500; назовите число, следующее при счете после числа 199, предшествующее числу 300.
4) Запишите число 909. Сколько всего цифр потребовалось для записи? Сколько различных цифр использовано? Что обозначает каждая цифра? Запишите этими же цифрами другое число. Что теперь обозначает цифра 0 (отсутствие единиц первого разряда)? Запишите с помощью цифры 8 трехзначное число. Что обозначает цифра 8, стоящая в числе на первом (втором, третьем) месте справа?
При повторении нумерации чисел в пределах 1000 целесообразно упражнять детей в обозначении чисел на счетах.
Полезно заранее сообщить детям о том, что они скоро будут учиться считать до миллиона и записывать многозначные числа, предложить несколько устных заданий на присчитывание с выходом за 1000. Это способствует появлению интереса у детей к данной теме, активизирует их познавательную деятельность.
Изучение нумерации многозначных чисел начинают с того, что повторяют, как можно получить тысячу. Присчитывая по одному, начиная, например, с числа 995, учащиеся выписывают ряд чисел до 1000 включительно и устанавливают, что после наибольшего трехзначного числа идет первое, самое маленькое четырехзначное число – 1000. Используя счеты, повторяют также образование разрядных единиц в результате группировки предшествующих, более мелких единиц (10ед.= 1дес.; 10 дес.=1сот.; 10сот.=1 тыс.).
Основными наглядными пособиями являются счеты и нумерационная таблица (таблица разряда классов). Полезно эти пособия иметь не только для обще классного, но и для индивидуального пользования.
Учитель объясняет, что тысячи можно считать как простые единицы (1 тыс., 2 тыс. и т.д.) и группировать их в десятки и сотни. Используя счеты, ведут счет единиц тысяч до 10 тысяч, которые заменяют 1 десятком тысяч и, получив 10 десятков тысяч, заменяют их 1 сотней тысяч, наконец, считают сотни тысяч до 10 и заменяют 10 сотен тысяч 1 миллионом. Целесообразно образование новых разрядных единиц зафиксировать в записи:
10ед.тыс.= 1дес.тыс., 10дес.тыс.= 1сот.тыс., 10сот.тыс.= 1млн., расположение ее столбиком рядом с предыдущими записями.
Затем идет работа с нумерационной задачей, в которой обозначены названия всех разрядных единиц от единиц до сотен тысяч. Учитель дает пояснение (или дети читают по учебнику) о том, что единицы, десятки и сотни образуют I класс, или класс единиц, а единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч образуют II класс, или класс тысяч (соответствующие записи вносятся в таблицу). Полезно затем сравнить I и II классы и установить их сходство и различие: в каждом классе по три разряда в 10 раз больше предыдущей, но в I считают и группируют единицы, а во II классе – тысячи.
Далее изучают числа II класса (круглые тысячи). Начать работу можно с изображения чисел на счетах. Дети вспоминают, где на счетах откладывают единицы, десятки, сотни (т.е. числа I класса), а где – единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч (числа II класса). Помочь детям запомнить расположение на счетах разрядных единиц можно так: на вертикальную планку счетов прикрепить бумажную полоску с номерами классов и разрядов. Сначала учащиеся обозначают на счетах числа I класса (например, 7,97,697,600 и т.п.), а затем – числа II класса (7тыс., 47тыс., 547тыс.). Последнее упражнение можно повторить, отложив на счетах числа «потруднее»: 670тыс., 600тыс. и т. д.
Аналогичная работа может быть проведена по нумерационной таблице, (начерченной на доске и в тетрадях или данной в учебнике), но основное внимание теперь надо обратить на особенности записи чисел II класса. На этом этапе рассматривается также десятичный состав чисел II класса: «Назовите число, в котором 3 сотни тысяч и 5 десятков тысяч (3 сотни тысяч и 5 единиц тысяч). Сколько единиц каждого разряда в числе 782 тыс.? сложите числа 500000+40000+8000; замените число 675000 суммой разрядных слагаемых.
В результате выполнения таких упражнений учащиеся придут к обобщению: числа II класса образуются из тысяч точно так же, как числа I класса из единиц; при чтении чисел II класса добавляют слово «тысячи», а на письме пишут в классе тысяч, то есть пишут цифрами на четвертом, пятом, шестом местах, считая справа налево.