На следующем этапе приступают к изучению нумерации многозначных чисел, состоящих из единиц первого и второго класса. Первые упражнения можно провести, используя нумерационную таблицу.
На уроках при изучении нумерации важно использовать материал, взятый из жизни, характеризующий развитие нашей страны и братских стран, достижения в завоевании космоса. С этой целью полезно организовать сбор детьми интересных числовых данных с записью их в индивидуальные или общеклассные справочники.
Далее, дети не только учатся читать и записывать многозначные числа в пределах миллиона, но и более подробно останавливаются на десятичной составе чисел, а также на их натуральной последовательности. Все эти вопросы рассматриваются во взаимосвязи.
На следующем этапе переходят к закреплению знаний и умений учащихся. Закреплению знаний по нумерации помогают упражнения в преобразовании натуральных чисел и величин – замена мелких единиц крупными и обратно, замена мелких единиц крупными и обратно, замена крупных единиц мелкими. В начале эти задания выполняются на основе нумерации, а потом уже способы преобразований обобщаются в виде правил.
Например: 50=5дес., 100=10дес., 120=10дес.+2ед.=12дес.
Сравнивая числа, дети делают вывод, чтобы выразить в десятках круглое число, надо отбросить в нем справа один нуль. Так же можно подвести детей к выводу о замене единиц сотнями (отбросить в числе справа три нуля). Аналогично учащиеся подводятся к выводу о том, как произвести обратное преобразование, то есть как заменить десятки, сотни и тысячи простыми единицами (к числу десятков надо приписать справа один нуль, к числу сотен – два, к числу тысяч – три нуля).
Заканчивая работу над темой, целесообразно систематизировать знания детей по нумерации. С этой целью можно предложить учащимся охарактеризовать какое-либо данное многозначное число, например, 9409.
Понимать происхождения математических понятий, роли и значения математического метода исследования реального мира является необходимым условием сознательного и глубокого усвоения детьми школьной программы по математике. Уроки по учебнику Л.Г. Петерсон (2 кл.) обладают также огромными возможностями эмоционального воздействия на детей, организации их творческой деятельности и формирования познавательных интересов.
Формы проведения этих уроков могут быть самыми разнообразными, однако они пройдут тем успешнее, чем активнее дети будут включены в исследовательскую творческую деятельность. Например, как уже отмечалось, можно предложить им заранее (примерно за 1-2 недели до изучения данной темы) прочитать текст учебника на стр. 46-58, а затем за несколько дней до уроков разбить этот текст на части и распределить между учениками для пересказа. Тогда рассказчиком будет не учитель, а сами дети. При этом рассказ может дополняться в ходе обсуждения различной информацией, которую учитель и дети с помощью родителей найдут в книгах, журналах, энциклопедиях – любой популярной литературе по истории математики. На этих уроках уместно использование соответствующих таблиц, иллюстраций, диапозитивов, фрагментов учебных кинофильмов и даже инсценировок. С большим интересом обычно дети выполняют задания по содержанию тем, например:
- назовите число 21, пользуясь папуасскими названиями «окоза» и «урапун»;
- изобразите равенства 3+2=5 и 6-2=4 с помощью сложения и вычитания совокупностей предметов;
- запишите число 1 328 в египетской системе записи чисел;
- запишите арабскими цифрами число, записанное в вавилонской нумерации (60х2+34=120+34=154)
- запишите арабскими цифрами числа: XXXIV, CXVIII, DCXXIX, CMLXVII (34, 128, 629, 967).
- запишите римскими цифрами: 23, 48, 154, 56, 75, 139, 164,421,973
(XXXII, XLVIII, LVI, LXXV, CXXXIX, CLXIV, CDXXI,CMLXXIII).
Для подготовки детей к изучению многозначных чисел проводится игра «Путешествие во времени». Для этой игры каждый ребенок должен подготовить набор цифр от 0 до 9. К доске выходят три ученика (например, Саша, Лена, Таня). Класс на «машине времени» переносится в те времена, когда люди считали предметы с помощью пальцев. Учащиеся у доски – «счетчики». Определяется их порядок справа налево, например:
III II I
Саша – Лена - Таня
считает сотни считает десятки считает
единицы
Значит, пальцы Тани будут обозначать число единиц, пальцы Лены – число десятков, а Сашины пальцы – число сотен. Чтобы всему классу было понятно, сколько пальцев согнуто у каждого счетчика, надо условиться вместо непосредственного загибания пальцев показать соответствующую цифру (например, если Тане надо загнуть три пальца, то она показывает цифру 3). Учитель или кто-либо из учеников предлагает «папуасский» вариант чтения чисел, а учащиеся должны перевести его на современный язык. Так, если учитель называет число: 8 пальцев Саши, 2 пальца Лены, 5 пальцев Тани, то «счетчики» показывают карточки: 8, 2, и 5, а учащиеся класса читают число: восемьсот двадцать пять.
На 16-м уроке можно предложить учащимся моделирование чисел в пределах миллиона. Опишу примерный ход игры:
- назовите число: 6 пальцев Саши, 3 пальца Лены, 9 пальцев Тани (639).
- увеличьте его на 1. Сколько пальцев должны загнуть Саша, Лена и Таня? (Таня показывает число 10 и условно «передает» 1 десяток Лене, оставляя себе 0. Лена заменяет число 3 числом 4, а Саша продолжает показывать 6. Получается число 640).
- назовите число 8 пальцев Саши, 9 пальцев Саши, 9 пальцев Лены и 9 пальцев Тани (899).
- увеличьте его на 1(повторяется процесс наполнения соответствующих разрядов 10 единицами и увеличения следующего старшего разряда на 1, Получается число 900).
- какое самое большое число могут показать Саша, Лена и Таня? (999). Какое число ему предшествует? (998). Какое число за ним следует? (Повторяется процесс наполнения каждого разряда 10 единицами, однако Саше некому передать единицу высшего разряда). Поэтому вызывается еще 1 ученик и они вчетвером показывают 1 000. Таким же образом продолжается рассмотрение четырехзначных, пятизначных и шестизначных чисел, например:
5 763, 9 999, 10 000, 24 999, 25 000, 99 999, 100 000, 386 903.
На 17-м уроке игра продолжается. Аналогично рассматриваются несколько шестизначных чисел. А потом учитель ставит вопрос – что делать. Если будут заполнены все разряды, включая сотни тысяч? Вводятся один за другим счетчики для миллионов, десятков миллионов, сотен миллионов, затем для миллиардов, десятков миллиардов, сотен миллиардов. Очевидно. Что для чтения чисел, которые показывают счетчики, надо назвать. Сколько в этих числах миллиардов, миллионов, тысяч и единиц. Чтобы легче было называть числа. Дети обычно предлагают счетчикам сгруппироваться по три. Появляются классы – единицы, тысячи, миллионы и миллиарды:
Счетчики показывают цифры в своих разрядах, а остальные учащиеся называют все число, например: 4 352 716, 9 999 999, 10 000 000, 57 000 820, 99 999 999, 100 000 000, 386 079 999, 386 080 000, 999 999 999, 1 000 000 000, 35 912 042 140, 709 566 000 015 и др.для этих чисел можно обсуждать вопросы, аналогичные тем, которые ставились на предыдущем уроке.
Таким образом, игра поможет учащимся еще до введения многозначных чисел освоить соответствующую терминологию, структуру многозначных чисел, переход из одного разряда в другой. Здесь же можно обсудить с ними еще 2 важных момента:
1) Одна и та же цифра в разных разрядах обозначает разные числа.
2) Отсутствующие разряды необходимо обозначать нулями. Например, если в числе 709 566 000 075 убрать нули (учащиеся с цифрой 0 отходят в сторону), то все разряды сместятся и полученное новое число 7 956 675 выражает совершенно другое количество.
Игру «Путешествие во времени» можно использовать в дальнейшем на всех уроках по нумерации многозначных чисел, меняя местами « счетчиков» (тех, кто показывает числа) и «путешественников» (тех, кто их называет).
Итак, на данных уроках у детей не только формируется представление об основных этапах развития понятия числа, но и готовится изучение следующей темы – многозначные числа. Здесь можно также предложить учащимся творческие работы: написать небольшие рефераты, сделать рисунки. Дополнительный материал исторического характера можно найти в указанной выше книге Н.Я. Виленкина, И.Я. Депмана «За страницами
2.2. Позиционные и непозиционные системы счисления.
Самый простой счет – это счет двойками. В этом счете за основу взято число два. Две единицы образуют уже второй разряд – разряд двоек, две двойки – это третичный разряд – разряд четверток. Следующий разряд – это восьмерки и т. д.
Число в двоичной системе изображается только двумя цифрами – единицей и нулем. Единица второго разряда – это два. Единица третьего разряда – это четыре, так как 2x2=4, единица четвертого разряда – восемь, так как 2х2х2=8, пятого – 9х2=16 и т. д.
В двоичной системе число 101 – это не сто один. В этом числе последняя цифра – разряд единиц – один. Нуль показывает, что второго разряда, то есть двоек, нет. Первая в числе единица – это единица третьего разряда, т.е. четвертка, следовательно, 101 – это 4+0+1=5. А в числе 1110 по двоичной системе, единиц – нуль, то есть, их нет. Во втором разряде – одна двойка, в третьем разряде – одна четвертка, в четвертом – цифра1 означает, что в этом случае ее надо принять за 8.
Все число составит 8+4+2+0=14
В прошлом некоторые народы продолжительное время при счете применяли двоичную систему счисления. Например, в Австралии были племена, которые считали так: один – это «энэа», два – «петчевал», три – «петчевал-энэа», т.е. два и один, четыре – «петчевал-петчевал», (два и два).
Первоначально и в древнем Египте считали двойками, что подтверждают записи в более древних папирусах.
Счет двойками в наше время сыграл большую роль при создании электоронно-вычислительных машин. Все первые электронно-вычислительные машины работали на двоичной системе счета. Теперь в таких машинах используют не только двоичную, но и другие системы счисления, что позволяет увеличить скорость действия машин. Вычисления в двоичной системе счисления самые простые. Но они требуют длинных записей, на что тратиться много времени.