Пятеричная и десятеричная системы счисления.
Считать можно по-разному. Например, сосчитал до 5 – загни палец правой руки. Сосчитал еще пять предметов – загни второй палец той же руки и т. д. Когда все пальцы руки загнуты, то загибают один палец на левой руке, а пальцы правой руки разгибают. Дальше счет продолжают снова, загибая своей правой руки или другого человека. Пять согнутых пальцев правой руки означают 5х5=25, три загнутых пальца левой руки выражают число 25х3=75, пять пальцев той же руки означают число 25х5=125, такой способ счета называют пятеричным, так как в его основе лежит число пять.
Современная десятичная система счета сложилась несколько тысячелетий назад одновременно у многих народов. В основе этой системы оказалась десятка благодаря тому, что у человека на руках 10 пальцев, которыми при счете он постоянно пользовался. Однако некоторые народы в древности пользовались смешанной пятерично-десятнричной системой счисления. Примером, подверждающим это, служит римская нумерация. В римской нумерации имеются особые знаки: цифры, для обозначения пяти – V, десяти – Х, пятидесяти – L, ста – С, пятисот – D.
Двоичная и троичная системы счисления.
Особый интерес представляет двоичная система счисления. В ней используются только два знака для записи чисел, а именно цифры 0 и 1. Приводим таблицу чисел натурального ряда в двоичной системе счисления.
Десятеричная система счисления Двоичная система счисления
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
В этой системе счисления совсем просто выполняются действия. Рассмотрим, например, сложение следующих чисел: 100101
10011
11101
101001
110011
___________
10110001
Как видим, эта операция выполняется очень легко. Так же легко выполняются остальные действия. Единственный недостаток этой системы – громоздкость записи чисел.
В современной вычислительной технике в устройствах автоматики и связи широко используется двоичная система счисления. Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутренне представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1).
Конкретизирую описанный выше способ в случае перевода чисел из десятичной системы в двоичную. Целая и дробная части переводится порознь. Для перевода целой части (или простого целого числа) необходимо разделить ее на основание системы счисления и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число. Например:
25:2=12(1),
12:2=6(0),
6:2=3(0),
3:2=1(1),
1:2=0(1).
Таким образом, 25(10)=11001(2)
Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) надо умножить ее на 2. целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т. д. заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной. Например:
0,73х2=1,46 (целая часть 1),
0,46х2=0,92 (целая часть 0),
0,92х2=1,84 (целая часть 1),
0,84х2=1,68 (целая часть 1), и т. д.
В итоге: 0,73(10)=0,1011…(2)
Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить различные арифметические операции. Так, для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать эти таблицы.
Таблицы сложения и умножения в двоичной системе.
Заметим, что при двоичном сложении 1+1 возникает перенос единицы в старший разряд – точь-в-точь как в десятичной арифметике:
Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную производится (по аналогии с двоичной системой счисления) с помощью делений и умножений на 8. Например, переведем число 58,32(10)
58:8=7 (2 в остатке)
7:8=0 (7 в остатке)
0,32х8=2,56
0,56х8=4,48
0,48х8=3,84… Таким образом, 58,32(10)=72243…(8) (из конечной дроби в одной системе может получиться бесконечная дробь в другой).
Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную производится аналогично.
С практикой точки зрения представляет интерес процедура преобразования двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел. Для этого воспользуемся таблицей чисел от 0 до 15 (в десятичной системе счисления), представленных в других системах счисления.
Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить его справа налево на группы по3 цифры (самая левая группа может содержать менее трех двоичных цифр),а затем каждой группе поставить в соответствие ее восьмеричный эквивалент. Например:
11011001=11011001, т.е. 11011001(2) =331 (8)
Заметим, что группу из трех двоичных цифр часто называют «двоичной триадой».
Перевод целого двоичного числа в шестнадцатеричное производится путем разбиения данного числа на группы по 4 цифры – «двоичные тетрады»:
1100011011001=1100011011001, т.е. 1100011011001(2)=1809(16)
Для перевода дробных частей двоичных чисел в восьмеричную или шестнадцатеричную системы аналогичное разбиение на тирады или тетрады производится от точки вправо (с дополнением недостающих последних цифр нулями):
01100011101(2)=0,110001110100=0,6164(8),
01100011101(2)=0,110001110100=0,674(16)
Перевод восьмеричных (шестнадцатеричных) чисел в двоичные производится обратным путем – сопоставлением каждому знаку числа соответствующей тройки (четвертки) двоичных цифр.
Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы столь просты (по сравнению с операциями между этими тремя системами и привычной нам десятичной) потому, что числа 8 и 16 являются целыми степенями числа два. Этой простотой и объясняется популярность восьмеричной и шестнадцатеричной систем в вычислительной технике и программировании. Это особенно верно применительно к налогообложению, где различие между налоговой системой (налоговым законодательством, налоговой политикой) и налоговым администрированием (институтом налоговой службы) провести не так просто, как в других областях экономической политики. Хорошее налоговое администрирование – это хорошая налоговая политика. Самая лучшая налоговая политика, которая «не работает», поскольку налоговое администрирование не способно провести ее в жизнь, - заслуживает низкой оценки. Какие бы реформы ни проводились в налоговом администрировании, важно всегда учитывать возможное влияние этих реформ на налоговую политику и на другие элементы фискальной системы. Налоговая система основывается на законодательстве, определяющем налоговую политику и гражданские правоотношения, и налоговом администрировании. [11;30]
Арифметические действия с числами в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления выполняются по аналогии с двоичной и десятичной системами. Для примера, эта таблица иллюстрирует сложение и умножение восьмеричных чисел.
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 6 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 7 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| х | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 10 | 12 | 14 | 16 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 11 | 14 | 17 | 22 | 25 |
| 4 | 0 | 4 | 10 | 14 | 20 | 24 | 30 | 34 |
| 5 | 0 | 5 | 12 | 17 | 24 | 31 | 36 | 43 |
| 6 | 0 | 6 | 14 | 22 | 30 | 36 | 44 | 52 |
| 7 | 0 | 7 | 16 | 25 | 34 | 43 | 52 | 61 |
Есть еще один способ пе5ревода чисел из одной системы счисления в другую – метод вычитания степеней. В этом случае из числа последовательно вычитается максимально возможный коэффициент, меньший основания; этот коэффициент и является значащей цифрой числа в новой системе. Например, число 114(10): 114-26=114-64=50,