FFFF+1996-BAC
8. Выполните преобразования чисел последовательно из десятичной системы в 16-ричную, затем полученное 16-ричное число преобразуйте в двоичную систему счисления, полученное двоичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления, полученное 8-ричное число преобразуйте опять в десятеричную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему. Результаты изобразите в таблице, со следующими заголовками столбцов:
«10-ричная->», «16-ричная->», «2-ичная->», «8-ричная->, «10-тичная»
В таблицу поместите следующие числа:
2,8,10,16,4,64,100,256,5,65,101,257,1024,1025.
9. Выполните преобразования чисел последовательно из 16-ричной системы в 10-ричную. Затем полученное 10-ичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления. Полученное 8-ричное число преобразуйте в 2-ичную систему счисления. Полученное 2-ичное число преобразуйте опять в 16-ричную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему.
Результаты изобразите в таблице:
«16-ричная-> 10-тичная-> 8-ричная-> 2-ичная-> 16-ичная»
В таблицу поместите следующие числа:
F16, FF16, FFFF16, 1016, 10016, 1000016
10. Запишите в разных системах счисления с основанием (2,3,5,8,16) в точном виде, как число с фиксированной запятой с конечным числом цифр, или в виде периодической дроби результаты следующих простых арифметических действий:
1/2, 1/3,1/5, 1/8, 1/16, 2/3, 3/5, 5/8, 1/9
11. Несложную периодическую дробь можно перевести в правильную дробь, поместив в знаменатель период, а в числитель число, полученное из цифр 9, взятых столько раз, сколько имеется цифр в периоде числа.
Примеры:
0,(3)=3/9=1/3
0,(15)=15/99=5/33
Тот же принцип верен для любой системы счисления, только вместо цифры 9 необходимо брать «максимальную» цифру системы счисления.
Примеры:
0,(01001)2= 010012/11111,=9/63=178
0,(1F)16=1F16/FF16=31/(162-1)
0,(21)3=213/223=7/8
Запишите в виде отношения двух натуральных чисел значения следующих периодических дробей, используя для записи сначала ту же систему счисления, в которой изображена сама периодическая дробь, затем десятичную систему счисления. Проверьте, нельзя ли упростить полученную правильную дробь.
0,(1)2, 0,(10)2, 0,(1)3, 0,(10)3, 0,(1)5, 0,(10)5, 0,(1)8, 0,(10)8, 0,(1), 0,(10), 0,(1)16, 0,(10)16, 0,(2)3, 0,(20)3, 0,(4)5, 0,(40)5 , 0,(7)8, 0,(70)8, 0,(9), 0,(90),0,(F)16, 0,(FO)16.
12. Уже в средней школе обучают: чтобы перевести число, записанное большим количеством цифр, из двоичной системы счисления в восьмеричную систему, нужно сгруппировать подряд по три цифры, считая от запятой, отделяющую целую часть. И отдельно перевести двоичные числа, полученные из цифр каждой группы, в восьмеричные числа, каждое из которых выражается только одной восьмеричной цифрой. Записанные в том же порядке эти восьмеричные цифры образуют искомую восьмеричную запись числа. Можно ли подобрать похожие правила для перевода чисел из троичной системы в девятеричную?
13. Используя правила умножения целых чисел «в столбик» возведите в квадрат шестнадцатеричное число, состоящее из 15 единиц: 11111111111111116, выполняя действия и получая результат в той же (шестнадцатеричной) системе счисления. Если Вы не знаете, как это сделать возведите в квадрат десятичное число: 111 111 111 выполняя действия в десятичной системе. Решение послужит Вам подсказкой к исходной задаче.
2.2. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними
Запись числа в десятичной системе счисления
Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел используется 10 знаков (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа 3х103+7х102+4х10+5.
Определение. Десятичной записью натурального числа х. называется его представление в виде: x= аn*10n+an-1.10n-1+…a1.10+a0, где коэффициенты аn, an-1,…, a1, a0 принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и аn=0.
Сумму аnх10n+an-1x10n-1+…+а1х10+а0 в краткой форме принято записывать так: anan-1…a1a0.
Так понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.
Теорема. Любое натуральное число х. можно представить в виде:
х=аn*10n+an-1*10n-1+…+a1*10+a0 (1),
где аn, an-1, …, a1, a0 принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и такая запись единственна.
Доказательство существования записи числа х в виде (1). Среди последовательных чисел 1, 10, 102, 103,…, 10n,… найдем наибольшую степень, содержащуюся в х, т.е.такую что 10n<x<10n+1, что всегда можно сделать.
Разделим (с остатком) число х на 10n. Если частное этих чисел обозначить через аn, а остаток через хn, то х-аn*10n+xn, где аn<10 и х.n<10n. Далее, разделив хn на 10n-1, получим: хn= an-1*10n-1+xn, откуда х= аn*10n+ an1*10n-1+xn-1, где an-1<10 и xn-1<10n. Продолжая деление, дойдем до равенства х2=а1*10+х1. Положив х1=а0, будем иметь х=аn *10n +an-1*10n-1+…+a1*10+a0,т.е. число х. будет представлено в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами, меньшими 10, что и означает возможность записи числах в десятичной системе счисления.
Доказательство единственности представления числа х в виде (1). Число n в равенстве (1) однозначно определяется условием 10n<x<10+7. После того как n определено, коэффициент аn находят из условия: аn*10n<x<(an+1)*10n. Далее, аналогичным образом определяются коэффициенты an-1,…, a0.
Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.
Теорема. Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:
х=аn*10n+an-1*10n-1+…+a1*10+a0,
y=bm*10m+bm-1*10m-1+…+b1*10+b0
Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:
а) n<m;
б) n=m, но an<bn;
в) n=m, an=bn,…,ak=bk, но ak-1<bk-1.
Доказательство. В случае а) имеем: так как n<m, то 10n+1<10m, а поскольку х<10n+1 и 10m<y, то x<10n+1<10m<y, т.е. х<y.
В случае б): если n=m, но аn<bn, то an+1<bn и потому (an+1)*10n<bn*10n. А так как х<(an+1)*10n и bn*10n<y, то x<(an+1)*10n<bn*10n<y, то x<y.
Аналогично доказывается теорема и в случае в).
Например, если х=3456,а у=3467, то х<y, так как число тысяч и сотен в записи одинаковое, но десятков в числе х меньше, чем десятков в числе у.
Если натуральное число л; представлено в виде х= an*10n + an-1*10n-1+…+a1*10+a0, то числа 1,10,102,…,10n называют разрядными единицами соответственно первого, второго, …, n+1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно10 – основанию системы счисления.
Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют
первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки , сотни.