Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс – класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.
Затем следует третий класс – класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.
Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.
В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде 1*10+а0) образуются из соединения первых десяти названий и несколько измененного слова десять («дцать»):
Одиннадцать – один на десять,
Двенадцать – два на десять и т.д.
Может быть, естественнее было бы говорить «два» и «десять», но наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи.
Слово «двадцать» обозначает два десятка.
Числа третьего десятка (это числа вида 2*10+а0) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: двадцать один, двадцать два и т.д.
Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. Названия этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего десятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел первого и последующих десятков. Таким путем образуются наименования: сто один, сто два,…, сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню, будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести». Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся названиями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их к слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча.
Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по единице (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование – миллион. Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число – тысяча миллионов – носит особое название миллиард. Миллион миллионов называется биллионом. В вычислениях миллион принято записывать в виде 106, миллиард – 109, биллион – 1012. По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион – 1015, квадриллион – 1018 и т.д.
Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.
Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в начальном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом десятичной записью натурального числа считают его представление в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3000+700+40+5 есть сумма разрядных слагаемых числа 3745. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот сорок пять.
Алгоритм сложения
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.
Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком. Например,
341
+7238
7579
Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.
Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:
341+7238=(3*102+4*10+1)+(7*103+2*102+3*10+8).
Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:
3-102+4-10+1+7-103+2-102+3-10+8
На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7*103+3*102+2*102+4*10+3*10+1+8. Согласно свойству ассоциативности произведем группировку:7*103+(3*102+2*102)+(4*10+3*10)+(1+8). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102, а во второй – 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:
7*103+(3+2)*102+(4+3)*10+(1+8).
Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 7*103+5*102+7*10+9. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.
Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:
- способ записи чисел в десятичной системе счисления;
- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;
- дистрибутивность умножения относительно сложения;
- таблица сложения однозначных чисел.
Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748+436.
Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: (7*102+4*10+8)+(4*102+3*10+6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: (7+4)*102+(4+3)*10+(8+6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7+4, 8/+6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8+6 представим в виде 1*10+4:
(7+4)*102+(4+3)*10+(1*10+4).
Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (7+4)*102+(4+3+1)*10+4. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7+4 в виде 1*10+1, получаем: (1*10+1)*102+8*10+4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следовательно, 748+436=1184.
Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа: х=аn*10n+an-1*10n-1+…+a1*10+a0 и y=bn+10n+bn-1+…+b1*10+b0, т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х=у одинаково, х+у = аn*10n + an-1*10n-1 +…+a1*10 +a0) + (bn*10n +bn-1*10n-1+…+b1*10+b0)=(an+bn)*10n+(an-1+bn-1)*10 n-1+…+(a0 +b0) - преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму (an+bn)*10n+(an-1+bn-1)*10n-1+…+(a0+b0), вообще говоря, нельзя рассматривать как десятичную запись числа х.+у, так как коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы ak+bk не превосходит 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее k, для которого ak+bk>10. Если ak+bk>10, то из того , что0<ak<9 и 0 <bk<9, следует неравенство 0<ak+bk<18 и поэтому ak+bk можно представить в виде ak+bk=10+ck, где 0<ck<9. Но тогда (ak+bk)*10k = (10+ck)-10k = 10k+1+ck*10k. В силу свойств сложения и умножения в (an+bn)*10n+…+(a0+b0) слагаемые (ak+1+bk+1)*10k+1+ (ak+bk)*10k могут быть заменены на (ak+1+bk+1+1)*10k+1 +ck*10k. После этого рассматриваем коэффициенты an+bn, an-1+bn-1, …, ak+2+bk+2, ak+1+bk+1+1, выбираем наименьшее s, при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через n шагов придем к выражению вида: x+ y=(cn+10)*10n+…+c0, где cn=0, или х + у= 10n+1+cn*10n+…+c0, и где для всех n выполняется равенство 0 < cn < 10. Тем самым получена десятичная запись числа х+ у.