Умножим, например, столбиком 428 на 263. 428
Видим, что для получения ответа нам пришлось х263
Умножить 428 на 3,6, и 2,т.е. умножить многозначное 1284
Число на однозначное; но, умножив на 6, результат +2568
записали по-особому, поместив единицы числа 856
2568 под десятками числа 1284, так как умножали 112564
на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 – это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.
Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:
- умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;
- складывать многозначные числа.
Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления 428 можно представить в виде 4*102+2*10+8 и тогда 428*3=(4*102+2*10+8)*3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4*102)*3+(2*10)*3+8*3. Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12*102+6*10+24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12*102 +6*10+24 – коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1*10+2, а число 24 в виде 2*10+4. Затем в выражении (1*10+2)*102+6*10+(2*10+4) раскроем скобки: 1*103+2*102+6*10 +2*10+4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6*10 и 2*10 и вынесем 10 за скобки: 1*103+2*102+(6+2)*10+4. Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1*103+2*102 +8*10+4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т.е. 428*3=1284.
Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:
- записи чисел в десятичной системе счисления;
- свойствах сложения и умножения;
- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.
Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде. Пусть требуется умножить x=an*10n+an-1*10n-1+…+a0 на однозначное число у:
x*y=(an*10n+an-1*10n-1+…+a0)*y=(an*y)*10+(an-1*y)*10n-1+…+a0*y, причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения ak*y, где 0<k<n, соответствующими значениями ak*y=bk*10+c и получаем: x*y= (bn10+cn)*10n+(bn-1*10+cn-1)*10n-1+…+(b1*10+c1)*10+(b0*10+c0)=bn*10n+1+(cn+bn-1)*10n+…+(c1+b0)*10+c0. По таблице сложения заменяем суммы ck+bk-1 , где 0<k<n и k=0,1,2,..,n, их значениями. Если, например, c0 однозначно, то последняя цифра произведения равна m, а к скобке (с+b0) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х*у.
Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа anan-1…a1a0 на однозначное число у.
1. Записываем второе число под первым.
2. Умножаем цифры разряда единиц числа х. на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).
3. Если произведение цифр единиц числа х. на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q1+c0, где c0 – однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 – перенос в следующий разряд.
4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению число q1 и повторяем процесс, описанный в пп.2 и 3.
5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.
Как известно, умножение числа х. на число вида 10* сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей.
Рассмотрим алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428*263. Представим число 263 в виде суммы 2*102+6*10+3 и запишем произведение 428*(2*102+6*10+3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428*(2*102)+428*(6*10)+428*3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428*2)*102+(428*6)*10+428*3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.
Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть х. и у – многозначные числа, причем y=bm*10m+bm-1*10m-1+…+b0. В силу дистрибутивности умножения относительно сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: x*y=x*(bm*10m+bm-1*10m-1+… +b0)=(x*bm)*10m+(x*bm-1)*10m-1+…+x*b0. Последовательно умножая число х на однозначные числа bm, bm-1,…, b0, а затем на 10m, 10m-1,…, 1, получаем слагаемые, сумма которых равна х*у. Приходим к алгоритму умножения числа
x=anan-1…a1a0 на число y=bmbm-1…b1b0
1. Записываем множитель х и под ним второй множитель у.
2. Умножаем число х на младший разряд b0 числа у и записываем произведение x*b0 под числом у.
3. Умножаем число х на следующий разряд b1 числа у и записываем произведение x*b1, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению x*b1 на 10.
4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления x*bk..
5. Полученные k+1 произведения складываем.
Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут: 428*3=(400+20+8)* 3=400*3+20*3+8*3=1200+60+24=1284. Основой выполненных преобразований являются:
- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);
- правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);
- умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.
Алгоритм деления
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a=bq+r, причем 0<r<b.
Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9*6-54. Если же надо разделить 51 и 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 – это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45:51-45=6. Таким образом 51=9*5+6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком:
_51|_9
45 5
6
Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 – это значит найти такое неполное частное q и остаток r, что 378= 4q+r, причем остаток r должен удовлетворять условию 0<r<b, а неполное частное q – условию 4q<378<4(q+1).
Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q. Если число q двузначное, т.е. если 10<q<100, то тогда 40<4q<400 и, следовательно, 40<378<400, что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 – число двузначное.
Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20,30,40 и т.д. Поскольку 4*90=360, а 4*100=400, и 360<378<400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q=90+q0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4*(90+q0)<378<4* (90*q+q0+1), откуда 360+4q0<378<360+4*(q0+1) и 4q0<18<4(q0+1). Число q0 (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q0=4 и, следовательно, неполное частное q-90+4=94. Остаток находится вычитанием: 378-4*94=2.