где С0, С1, С2, … , Сm – неизвестные числовые параметры (коэффициенты модели).
Например, часто используется функция
Если выбрать систему базисных функций jj(x) = x j,
Аналогично, функция (4.8) может описывать тригонометрические, экспоненциальные полиномы и т.д.
При использовании аппроксимирующей функции в виде (4.8) задача нахождения коэффициентов Cj,
Наилучшими значениями параметров С0, С1, С2, … , Сm считают те, для которых сумма квадратов уклонений функции
достигает минимума. Таким образом, в методе наименьших квадратов минимизируется сумма квадратов разностей между значениями функции
где ei – разность в i-ой точке значений функции
Получим уравнения для вычисления коэффициентов Cj,
e = f (С0, С1, … , Сm).
Как известно, минимум функции нескольких переменных достигается в точке, где равны нулю все частные производные этой функции:
Дифференцируя функцию ошибки (4.9) по переменным С0, С1, … , Сm, согласно (4.11), получим систему уравнений следующего вида
Заметим, что в общем случае система (4.12) является нелинейной.
Далее будем полагать, что функция
Из (4.8) следует, что
Полученная система уравнений является системой (m+1) линейных алгебраических уравнений с (m+1) неизвестным С0, С1, … , Сm и называется нормальной системой. Ее решение определяет искомые коэффициенты функции y=
При решении систем линейных уравнений на ЭВМ обычно используют стандартные подпрограммы. В этом случае систему уравнений необходимо представить в стандартной матричной форме:
А*С=В, (4.14)
где А – квадратная матрица размером (m+1)´(m+1), составленная из коэффициентов системы линейных уравнений; С – вектор-столбец, содержащий (m+1) неизвестных переменных С0, С1, … , Сm; В – вектор-столбец свободных членов системы линейных уравнений.
Представим (4.13) в матричном виде (4.14). Для этого сгруппируем слагаемые в уравнениях (4.13) таким образом, чтобы каждое уравнение с номером j (
Здесь
Система линейных уравнений (4.15) при невысоком порядке может быть решена вручную по правилу Крамера или с помощью метода подстановки. Решение же систем линейных уравнений на ЭВМ чаще всего проводится с использованием метода исключения неизвестных (методы Гаусса или LU-разложения).
Изучим подробнее случай, когда аппроксимирующая зависимость (4.7) имеет два неизвестных коэффициента: y = j(x, С0, С1). Используя выражения (4.12) и опуская несложные выкладки, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными С0, С1:
Рассмотрим, в частности аппроксимацию экспериментальных данных с помощью линейной функции (см. рис. 4.3)
y = j(x, С0, С1) = С0+ С1 x. (4.17)
В этом случае, очевидно,
Систему (4.18) можно записать в матричном виде (4.14), где
Теперь коэффициенты С0, С1 легко могут быть найдены из решения (4.18) по методу Крамера.
Среднеквадратичная аппроксимация с помощью линейной функции (прямой линии) j(x) = С0+ С1 x целесообразна, очевидно, тогда, когда экспериментальные данные (xi, yi) приближенно описывают линейную зависимость y от x (об этом можно судить непосредственно по расположению точек (xi, yi) на координатной плоскости).
Однако подобная аппроксимация может быть использована и для более сложных зависимостей, если применить замену переменных. В этом случае выбирают новые переменные
X=y1(x, y); Y=y2(x, y) (4.19)
так, чтобы преобразованные экспериментальные данные
Xi=y1(xi, yi); Yi=y2(xi, yi) (4.20)
в новой системе координат X, Y давали точки (Хi, Yi), менее отклоняющиеся от линейной зависимости. Для аппроксимирующей прямой в новой системе координат
коэффициенты
После нахождения функции
Явное выражение для j(x) получают их этого уравнения, решая его относительно y (заметим, что это возможно не всегда).