Задачи изучения дисциплины 5 4 Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины: 6 (стр. 15 из 19)

Пример. Экспериментальная зависимость y от x представлена таблицей:

xi	1	2	3	4	5
yi	7,1	27,8	62,1	110	161

Установить вид эмпирической формулы, описывающей эту зависимость, используя аппроксимирующую функцию y = j(x, С₀, С₁) с двумя параметрами С₀ и С₁. Определить наилучшие значения коэффициентов С₀ и С₁.

Решение. Легко убедиться в том, что экспериментальные точки (x_i, y_i) не располагаются вблизи прямой. Произведем замену переменных X = ln x, Y = ln y и составим таблицу экспериментальных данных в новых переменных (X_i, Y_i)

Xi =ln xi	0,000	0,693	1,099	1,386	1,609
Yi =ln yi	1,960	3,325	4,129	4,700	5,081

Теперь точки (X_i, Y_i) лежат приблизительно на прямой (см. рис. 4.4). Значения коэффициентов

и эмпирической зависимости Y= + X (в новых переменных) находятся из системы уравнений (4.18)

-

Рисунок 4.4 – Исходные точки и график аппроксимирующей функции в логарифмическом масштабе

Решив эту систему, получим

= 1,97, = 1,95.

Найдем теперь связь между исходными переменными x и y в виде функции y = j(x, С₀, С₁), выполнив обратную замену переменных. Неявное уравнение, выражающее связь между x и y, имеет вид

ln y =

+ ln x = 1,97 + 1,95 ln x.

Отсюда легко получить явную зависимость между x и y в виде степенной функции, выполнив антилогарифмирование:

.

Обозначим

. В результате получим эмпирическую формулу в виде

y = j(x, С₀, С₁) =

= 7,16 x^1,95, (4.21)

где

, .

Сравнение экспериментальных данных с результатами вычислений по формуле (4.21) в соответствующих точках представлены в виде таблицы

xi	1	2	3	4	5
yi	7,1	27,8	62,1	110	161
y = 7,16 x1,95	7,16	27,703	61,081	107,04	165,39

Как видно, эмпирическая формула (4.21) хорошо приближает эти данные.

Заметим, что параметры

и в зависимости (4.21) в принципе можно найти из решения нелинейных уравнений (4.16). Однако применение способа выравнивания существенно упрощает вычисления этих параметров. В данном случае , С₁= .

Часто используемые аппроксимирующие зависимости y = j(x, С₀, С₁) с двумя параметрами С₀ и С₁ приведены в таблице 4.3. Здесь же указано преобразование переменных для приведения зависимости к линейному виду Y=

+ X, а также связь коэффициентов С₀ и С₁ с коэффициентами и .

Таблица 4.3 – Вид эмпирических формул для приведения данных к линейной

зависимости

№	Преобразование переменных	Эмпирическая формула j(x, С0, С1)
1	X = x, Y = xy	, С0 = , С1=
2	X = x, Y =	, С1 = , С0=
3	X = x, Y =	, С1 = , С0=
4	X = x, Y = ln y	, С0= , С1=
5	X = ln x, Y = y	y = С1 ln x + С0, С0 = , С1=
6	X = ln x, Y = ln y	, С0= , С1 =

Естественно, наряду с шестью предложенными формулами преобразования к переменным X, Y следует проверить возможность применения линейной зависимости непосредственно к исходным данным (x_i, y_i). Условием выбора наилучшей эмпирической формулы является наименьшее уклонение исходных или преобразованных экспериментальных данных от прямой. Уклонение данных от прямой в каждом варианте выравнивания будем определять величиной

. (4.22)

Для наилучшей эмпирической формулы величина d является наименьшей.

4.5.3 Задание на лабораторную работу

Варианты заданий к лабораторной работе представлены в табл. 3 приложения А. Студентам необходимо выполнить следующие действия:

1) нанести на координатную сетку x, y экспериментальные точки (x_i, y_i);

2) выбрать одну из шести предложенных формул преобразования к переменным X, Y так, чтобы преобразованные экспериментальные данные (X_i, Y_i) наименее уклонялись от прямой линии;

3) методом наименьших квадратов найти значения коэффициентов

и в уравнении прямой Y= + X;