Задачи изучения дисциплины 5 4 Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины: 6 (стр. 3 из 19)
Ответ: число обусловленности равно cond(A)=21.
Задача 5
Решить систему методом Гаусса с выбором главного элемента в строке:
Решение:
1 Прямой ход
Первый шаг:
а) выполним выбор главного элемента в 1-м столбце, получим новую систему
перестановкой 1-й и 2-й строк в исходной СЛАУ.
б) для исключения переменной x1 из второго уравнения умножим первое уравнение на коэффициент
и сложим его со вторым уравнением:2 x1–
x1+ x2– 
x2+ x3– 
x3= 0 – 
.Теперь упростим:
0 x1+
x2+ 
x3=0+2;0 x1+0,6 x2+1,4 x3=2.
в) для исключения x1 из третьего уравнения умножим первое уравнение на коэффициент
и сложим его с 3-м уравнением:–2 x1+
x1+ x2+ x2–2 x3+ 
x3=1+ ;0 x1+
x2+ 
x3=1–2;0 x1+1,4 x2– 2,4x3= –1.
В результате этих преобразований после первого шага получим:
.Видно, что коэффициенты при x1 во втором и третьем уравнении равны нулю.
Второй шаг:
а) выполним выбор главного элемента во втором столбце (первую строку не трогаем), получим новую систему
перестановкой 2-й и 3-й строк системы.
в) теперь с помощью второго уравнения можно исключить переменную x2 из третьего уравнения системы. Умножим второе уравнение на коэффициент
и сложим его с 3-м уравнением:0,6 x2+
x2+1,4 x3+ 
x3=2+ 
;0 x2+2,4286 x3=2,4286.
В результате получаем следующую систему с треугольной матрицей коэффициентов:
2 Обратный ход
Вторая часть метода Гаусса, называемая обратным ходом, заключается в последовательной подстановке найденных переменных x3 и x2 во второе и первое уравнения СЛАУ и их решения.
Первый шаг:
а) находим значение переменной x3 из последнего уравнения
x3=2,4286/2,4286=1;
б) подставляем полученное значение x3 во второе уравнение системы:
0 x1+1,4 x2–2,4×1=–1,
решая которое, получим значение x2=(–1+2,4)/1,4 = 1.
Второй шаг:
Подставляем найденные значения x3 и x2 в первое уравнение системы:
5 x1+1×1–1×1= –5;
x1= (–5)/5= –1;
x1= –1.
В результате получаем решение заданной системы линейных уравнений x=[–1, 1, 1]t.
Проверка:
Ответ: вектор неизвестных равен x=[–1, 1, 1]t.
Задача 6
Решить систему итерационным методом Гаусса-Зейделя, сделать 3 шага итерационного процесса. (При необходимости для выполнения условий сходимости сначала преобразовать систему).
Решение:
Приведем исходную систему уравнений к виду, необходимому для выполнения итерационного процесса. Для этого выразим неизвестные x1, x2 и x3 из первого, второго и третьего уравнений СЛАУ. Получим:
В матричном виде приведенная система имеет вид x =
x + 
,где
; 
.Проверим условие сходимости итераций. Исходная система не отвечает условиям диагонального преобладания
; 
. (*)Следовательно, достаточное условие сходимости не выполняется.
Исследуем также сходимость метода, используя нормы матрицы
для приведенной системы:а) ¥-норма:
=max{(0+ 
+ ); (2+0+4); (0+2+0)}== max{
; 6; 2} = 6.б) 1-норма:
=max{(0+2+0); ( +0+3); ( +4+0)}==max{2;
; 
} = 4,33.Так как обе нормы больше 1, то достаточное условие сходимости итерационного процесса ||
|| < 1 не выполняется.Преобразуем исходную систему таким образом, чтобы получить матрицу А с преобладающими диагональными элементами. Для этого переставим местами 2 и 3 строки:
Проверим условия сходимости (*):
для строк матрицы А: | 3 | > | 1 | +| 1 |; | –2 | > | 0 | +| 1 |; | 4 | > | 2 | +| –1 |;
для столбцов матрицы А: | 3 | > | 0 | +| 2 |; | –2 | = | 1 | +| –1 |; | 4 | > | 1 | +| 1 |.
Так как одна из групп неравенств (*) (для строк) выполняется со строгим знаком неравенства, система удовлетворяет достаточному условию сходимости.
Приведем полученную СЛАУ к итерационному виду. Получим следующую систему
В матричном виде приведенная система имеет вид x =
x + 
,где
; 
.Покажем, что и для приведенной системы условия сходимости выполняются. Вычислим нормы матрицы
:а) ¥-норма:
=max{(0+ 
+ ); (0+0+ 
); ( + 
+0)}== max{
; ; 
} = 0,75.б) 1-норма:
=max{(0+0+ ); ( +0+ ); ( + +0)}==max{
; 
; 
} = 0,83.