Задачи изучения дисциплины 5 4 Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины: 6 (стр. 4 из 19)

Как и следовало ожидать, в данном случае условие сходимости выполняется и по ¥-норме и по 1-норме.

Выполним 3 шага итерационного процесса. В качестве начального приближения возьмем вектор свободных членов преобразованной системы:

. На каждом шаге оценим ошибку решения по формуле

1-е приближение:

×max{½2–1,5875½; ½1,5–1,375½; ½–0,25+0,7½}=

= 3×max{0,4125; 0,125; 0,45}=1,35.

2-е приближение:

=3×max{½1,773–1,5875½; ½1,15–1,375½; ½0,8511+0,7½}=

= 3×max{0,1898; 0,2250; 0,1511}=0,675.

3-е приближение:

=3×max{½1,9014–1,773½; ½1,0744–1,15½; ½–0,9321+0,8511½}=

= 3×max{0,1241; 0,0756; 0,081}=0,3723.

Итак, полученное решение х = [1,9014, 1,0744, –0,9321]^Т. Ошибка решения e₃£0,3723.

Проверка: подставим найденный вектор х в исходную СЛАУ:

Полученный вектор свободных членов близок к заданному вектору

Замечание: Точное решение данной системы уравнений равно х^*= [2, 1, –1]^Т.

Ответ: решение исходной системы уравнений равно

х = [1,9014, 1,0744, –0,9321]^Т.

3.2.2 Варианты контрольной работы № 1

Вариант №1

Представить число 8912,342 в виде десятичной дроби (разложить по степеням числа 10).

Определить количество верных цифр в узком и широком смысле для приближенного числа а, если известна его предельная относительная погрешность

Вычислить выражение и найти предельные абсолютную и относительную погрешности. В ответе сохранить все верные цифры и одну сомнительную. Все исходные числа даны с верными знаками в узком смысле.

Для матрицы А вычислить обратную матрицу (использовать алгебраические дополнения элементов матрицы). Убедиться, что

Решить СЛАУ методом простой итерации, сделать 3 шага итерационного процесса (при необходимости для выполнения условий сходимости сначала преобразовать систему).

Решить СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента в столбце:

Вариант №2

Определить абсолютную погрешность D(а) приближенного числа а по его относительной погрешности d(а):

Округлить сомнительные цифры числа а, оставив в нем верные знаки в узком смысле:

Вычислить выражение и найти предельные абсолютную и относительную погрешности. В ответе сохранить все верные цифры и одну сомнительную.

Для матрицы А вычислить нормы

Решить СЛАУ методом обратной матрицы. Найти число обусловленности системы уравнений. Оценить возможное отклонение

от полученного решения, если допустить относительную ошибку в левой части

(использовать любую из норм).

Решить СЛАУ методом Зейделя, сделать 3 шага итерационного процесса (при необходимости для выполнения условий сходимости сначала преобразовать систему).

Вариант №3

Определить количество верных цифр в узком и широком смысле для приближенного числа а, если известна его предельная абсолютная погрешность

Округлить сомнительные цифры числа а, оставив в нем верные знаки в узком смысле, если

и предельная относительная погрешность

Определить относительную погрешность вычисления объема цилиндра V, если погрешность измерения радиуса основания R равна 1% и погрешность измерения высоты H равна 1%.

Найти произведение

, если:

а)

;

б)

Решить систему уравнений: а) обычным методом Гаусса (схема единственного деления); б) методом Гаусса с выбором главного элемента. Все вычисления производить с точностью до 4-х значащих цифр. Вычислить число обусловленности системы уравнений (использовать любую из норм), сделать выводы.

Показать, что для СЛАУ процесс решения по методу Зейделя сходится. Определить необходимое число итераций для нахождения корней системы с точностью до

Вариант №4

Найти предельные абсолютную и относительную погрешности приближенного числа а, если оно имеет только верные знаки в узком смысле:

Определить, какое из измерений выполнено точнее – 80 км с ошибкой 20 м или 8 см с ошибкой 2 мм (сравнить относительные погрешности измерений).

При измерении радиуса R круга с точностью до 0,5 см получилось число 12 см. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности при вычислении площади круга.

Найти произведение

, если:

Вычислить определитель методом Гаусса:

Вариант №5

Округлить по правилу симметричного округления число 2,1514 последовательно до тысячных, сотых и десятых. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности каждого результата.

С каким числом верных знаков в узком смысле следует взять числа arctg(6) и ln(30), чтобы относительная погрешность была не более 0,1%?

Каждое ребро куба, измеренное с точностью до 0,02 см, оказалось равным 8 см. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема куба.

Решить СЛАУ по методу обратной матрицы:

Вычислить обратную матрицу методом Гаусса: