Задачи изучения дисциплины 5 4 Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины: 6 (стр. 7 из 19)

.

Для нашей задачи вторая производная равна

.

Замечание: Существенные отличия левой, правой и центральной разностных производных связаны с большой величиной шага h.

Ответ: левая разностная производная: y'(0,2) = 0,092;

правая разностная производная: y'(0,2) = 0,152;

центральная разностная производная: y'(0,2) = 0,122;

вторая производная: y''(0,2) = 1,2.

Задача 5

Вычислить интеграл

по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона (взять 5 значений подынтегральной функции, т.е. число подинтервалов n=4). Рассчитать оценки погрешности вычислений интеграла, сравнить с действительными погрешностями.

Решение:

Выполним разбиение интервала интегрирования на 4 части и рассчитаем значение функции в узлах. Результаты представим в виде таблицы.

i	0	1	2	3	4
xi	0	0,25	0,5	0,75	1,0
уi =f(xi)	2,0	2,2188	3,0	4,5312	7,0

а) Метод средних прямоугольников. Формула вычисления интеграла функции f(x) по методу средних прямоугольников имеет следующий вид

,

где

.

Вычислим значения функции в середине выбранных интервалов и результаты сведем в таблицу

xсрi	0,125	0,375	0,625	0,875
усрi =f(xсрi)	2,0508	2,5273	3,6602	5,6367

Значение искомого интеграла по формуле прямоугольников будет равно:

I_пр=0,25×(2,0508+2,5273+3,6602+5,6367)=3,4688.

Погрешность метода прямоугольников можно оценить по формуле

,

где

.

Для нашего случая имеем: h=0,25;

(x)=6x² + 6x; (x)=12x + 6; . Следовательно

.

б) Метод трапеций. Формула вычисления интеграла функции f(x) по методу трапеций имеет следующий вид

=

= 0,25×((2,0+7,0)/2+2,2188+3,0+4,5312)=3,5625.

Погрешность метода трапеций можно оценить по формуле

0,0938.

в) Метод Симпсона. Формула вычисления интеграла функции f(x) по методу Симпсона имеет следующий вид (n – должно быть четным числом)

,

где s₁ = f(x₁) + f(x₃) +…+ f(x_n–1); s₂ = f(x₂) + f(x₄) +…+ f(x_n–2)

Для нашей задачи формула Симпсона примет следующий вид

» =

= 0,25/3×(2,0+7,0+4×(2,2188+4,5312)+2×3,0)=3,5.

Погрешность метода Симпсона можно оценить по формуле

0,

где

. Четвертая производная заданной функции f(x)=2x³ + 3x² + 2 равна нулю, т.е. M₄=0.

Проверка: Точное значение интеграла равно

.

Следовательно, истинные значения ошибок будут равны:

а) метод прямоугольников e=| I – I_пр | = | 3,5 – 3,4688 | = 0,0312;

б) метод трапеций e= | I – I_тр | = | 3,5 – 3,5625 | = 0,0625;

в) метод Симпсона e= | I – I_c | = | 3,5 – 3,5 | = 0.

Таким образом, оценки ошибок близки к действительным ошибкам вычисления интеграла.

3.3.2 Варианты контрольной работы № 2

Вариант №1

Вычислить методом дихотомии (деления отрезка пополам) корень уравнения в интервале

. Сделать три итерации.

Функция

интерполируется на интервале [2; 4] полиномом

1) Найти оптимальные (чебышевские) узлы интерполяции.

2) Оценить ошибку интерполяции при таких узлах.

3) Выполнить интерполяцию и сравнить оценку с действительной ошибкой в точке

.

Экспериментально получена зависимость дальности приема радиосигнала D от интенсивности осадков I:

I, мм/час	10	30	50	70
D, км	100	60	30	20

С использованием МНК найти приближенную зависимость D(I) в виде квадратного трехчлена.

Функция

задана таблицей. В точке найти значения и по формулам левой, правой и центральной разностных производных.

x	1,00	1,10	1,20
y	2,7183	3,0042	3,3201

Вычислить интеграл

по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона (взять 5 значений подынтегральной функции, т.е. ). Рассчитать оценки погрешности вычислений интеграла, сравнить с действительными погрешностями.

Вариант №2

Вычислить методом хорд корень уравнения в интервале

. Сделать три итерации.

Методом интерполяции найти первую производную функции

в точке . Функция задана числовыми значениями. Указание: вначале найти интерполирующий полином.

x	2	4	6
y	1	3	8

Экспериментально получена зависимость дальности приема радиосигнала D от интенсивности осадков I:

I, мм/час	10	30	50	70
D, км	100	60	30	20

С использованием МНК найти приближенную зависимость D(I) в виде квадратного трехчлена.

Дан полином

.

Вычислить при

(шаг ):

1)

по формулам левой, правой и центральной разностных производных.

2)

с помощью интерполяции по 5 узлам.

3)

по формуле центральной разностной производной.