Методические указания и задания для самостоятельной работы по теме: коллективное принятие решений (стр. 3 из 4)
Победителем по Кондорсе в данном случае является кандидат a. В то же время кандидат b лучше кандидата a при любых значениях
.Приведем два наиболее естественные обобщения процедуры Кондорсе.
Правило Копленда. Сравним кандидата a с любым другим кандидатом x. Начислим ему +1, если для большинства a лучше x, -1, если для большинства x лучше a, 0 при равенстве. Суммируя общее количество очков по всем x,, x 
a получаем оценку Копленда для a. Избирается кандидат, называемый победителем по Копленду, с наивысшей из таких оценок.
Правило Симпсона. Рассмотрим кандидата a, любого другого кандидата x и обозначим через N(a, x) число выборщиков для которых a лучше x.
Оценкой Симпсона для a называется минимальное из чисел N(a, x)
по всем x,, x a. Избирается кандидат, с наивысшей такой оценкой.
Победитель по Кондорсе получает наивысшую оценку Копленда p-1, а также оценку Симпсона выше n/2.
Перечислим теперь некоторые основные нормативные свойства для правил голосования.
Оптимальность по Парето. Если кандидат a для всех лучше кандидата b, то кандидат b не может быть избранным.
Рассмотрим следующую таблицу
| 1 | 1 | 1 |
| b | a | c |
| a | d | b |
| d | c | a |
| c | b | d |
По правилу попарного сравнения с выбыванием при использовании последовательности : abcd получим
, т.е. побеждает d. В то же время кандидат a для всех лучше кандидата d.Анонимность. Имена выборщиков не имеют значения: если два выборщика поменяются голосами, то результаты выборов не изменяться.
Это условие требует, чтобы мнения всех избирателей были равноценными для процедуры голосования.
Однако, существуют процедуры голосования сознательно придающие мнению одного или части избирателей больший вес (например, председатель правления или члены правления имеют два голоса). Примером такой процедуры является также право вето, которым обладают постоянные члены Совета Безопасности ООН.
Может оказаться, что внешне равноправная процедура на самом деле такой не является. ("На совете мнения разделились. Хотя обе стороны упорно стояли на своём, но победило мнение царей." Геродот, "История")
Нейтральность. Имена кандидатов не имеют значения. Если мы поменяем местами кандидатов a и b в предпочтении каждого избирателя, то исход голосования изменится соответственно (если раньше выбирался a, то теперь будет выбираться b и наоборот; если выбирался некоторый x, отличный от a и b, то он же и будет избран.
Существуют процедуры сознательно нарушающие это требование. Например, на голосование ставится поправка к некоторому существующему положению ( законопроекту, Конституции). При этом часто требуется для внесения поправки получить больше, например, 2/3 голосов избирателей, т.е. поправка и существующее положение находятся в неравноправном положении.
Иногда неравноправие возникает неявно.
Правило Копленда и Симпсона оптимальны по Парето, анонимны и нейтральны, если мы рассматриваем их как отображения, ставящие в соответствие каждому профилю предпочтений подмножество победителей.
Правило Борда оптимально по Парето, анонимно и нейтрально. То же справедливо для для любого правила голосования с подсчетом очков, если очки разные $(s_k < s_k+1 )$.
Если ввести некоторое правило при равенстве очков, выделяющее единственного победитля, то либо анонимность, либо нейтральность нарушатся. Это очевидно следует из рассмотрения следующей таблицы
| I | II | III |
| 1 | 1 | 1 |
| a | b | c |
| b | c | a |
| c | a | b |
Таблица 4.
Предположим, что на некотором заседании по правилу голосования с последовательным
выбыванием производится отбор альтернативного законопроекта (технического проекта, нового образца для производства и т.п.).
Мнения участников заседания приведены в следующей таблице
| I | II | III | IY |
| 1 | 2 | 1 | 1 |
| D | a | d | b |
| B | b | c | c |
| A | c | a | d |
| C | d | b | a |
Таблица 5.
Председатель заседания ставит на голосование проекты в последовательности a, b, c, d . Так как a>b, то при первом голосовании во второй тур выходит a, при втором голосовании a>c и на третий тур выходит опять a. На заключительном туре a<d и, следовательно, побеждает d.
Легко проверить, что при последовательном сравнении abdc побеждает c, при bdac побеждает a и при adbc побеждает b.
Таким образом, используя то, что голосование с последовательным сравнением не является нейтральным, председатель заседания может в рассматриваемом случае за счет выбора соответствующей последовательности рассмотрения добиться любого результата голосования.
Монотонность. Предположим, что a выбирается (среди победителей) при данном профиле и профиль изменится только так, что положение a улучшается, а относительное сравнение пары любых других кандидатов для избирателя остается неизменным. Тогда a по-прежнему будет выбран (вновь среди победителей) для нового профиля.
Проверим, что требованию монотонности не удовлетворяет правило относительного большинства с выбыванием, которое широко испоьзуется при выборах в Украине.
Рассмотрим два профиля
| I | II | III | IY | I | II | III | IY | |
| 6 | 5 | 4 | 2 | 6 | 5 | 4 | 2 | |
| a | c | B | B | A | c | b | A | |
| b | a | C | a | b | a | c | B | |
| c | b | A | c | c | b | A | C | |
| Профиль А | Профиль Б | |||||||
В случае A во второй тур проходят a и b и побеждает a (11 голосов против 6).
В профиле Б произошло только улучшение положения a в IY группе избирателей. Кандидат a теперь уверенно выигрывает в 1-ом туре и проигрывает во 2-ом туре кандидату c, т.е. улучшение позиции a привело к его поражению.
Таким образом, при данной системе голосования может быть выгодно специально проиграть выборы на некотором участке, чтобы вывести во второй тур соперника, у которого можно выиграть заключительный тур выборов. В истории известны такие случаи.
Аксиома участия. Пусть кандидат a выбирается из множества A избирателями из N. Рассмотрим далее избирателя I вне N. Тогда избиратели из 
должны избрать либо a, либо кандидата, который для избирателя I строго лучше a.
Рассмотрим следующую таблицу:
| 3 | 3 | 5 | 4 |
| a | a | d | B |
| d | d | b | C |
| c | b | c | A |
| b | c | a | D |
Победитель по Симпсону – a. Победителя по Кондерсе нет. Пусть добавляется ещё 4 избирателя с предпочтениями c>a>b>d тогда победитель по Симпсону – b. Пришедшие избиратели считали, что a>b и следовательно “поддержали” a , но в результате поддержки кандидата a победил кандидат b («парадокс неучастия» - лучше было не участвовать).
Итак, рассмотренные примеры использования различных процедур голосования показали возможные парадоксы их применения. К сожалению нельзя указать лучшую для всех случаев процедуру голосования. Поэтому выбор процедуры голосования для каждой конкретной ситуации носит принципиальный характер. При этом тот фон, о котором говорилось в начале лекции, соответствующий качественным вопросам решения задачи принятия решения имеет существенное значение. Очень важно, например, являются кандидатами люди или технические проекты; насколько хорошо избиратели знают кандидатов, из которых необходимо выбирать; может ли избиратель воздерживаться относительно некоторых кандидатов; каковы технические возможности обработки результатов голосования и т.д. Что считать большинством? Когда выборы считать состоявшимися? Когда поправка вносится в действующее положение - при числе голосов больше 2/3, 3/4, 4/5 ?