a - угол наклона, 0<a<90. Так как в электронной таблице Excel функция tg находит значение tg от угла, выраженного в радианах, то при записи формулы предусмотрим перевод градусной меры угла в радианную.
Так выглядит таблица в формате отображения формул:
| A. | B. | |
| 1. | Задача о дорожном происшествии | |
| 2. | Исходные данные: | |
| 3. | m | |
| 4. | a (град.) | |
| 5. | Результат | =ЕСЛИ(TAN(B4*ПИ()/180)> B3;”Поедет”;”Стоит на горе”) |
Компьютерный эксперимент
1. Введите в компьютерную модель исходные данные.
(Например: m=0,5; a=12)
2. Найти такой коэффициент трения при котором машина поедет с горы (при данном угле).
3. Найти такой угол при котором машина будет стоять на горе (при данном коэффициенте трения).
4. Каков будет результат, если силой трения пренебречь.
Анализ результатов
Данная компьютерная модель позволяет проводить вычислительный эксперимент, взамен физическому. Меняя значения исходных данных, можно видеть все изменения происходящие в системе.
Интересно заметить, что в построенной модели результат не зависит ни от массы автомобиля, ни от ускорения свободного падения.
Задача 2
На заданном расстоянии от пушки находится стена. Известны угол наклона пушки и начальная скорость снаряда. Попадет ли снаряд в стену?[5]
Постановка задачи
Цель моделирования — пользуясь знакомыми физическими законами движения тела, брошенного под углом к горизонту, исследовать данную ситуацию при различных значениях исходных данных.
Объектом моделирования является система, состоящая из двух компонентов: снаряд, брошенный под углом к горизонту, и стена. Подобрать начальную скорость и угол бросания так, чтобы брошенное тело (снаряд) достигло цели.
Разработка модели
Снаряд считаем материальной точкой.
Сопротивлением воздуха и размерами пушки пренебрегаем.
Исходные данные:
a - угол наклона пушки, 0<a<90 градусов;
V - начальная скорость снаряда (м/с), 0<V<1000;
S - расстояние от пушки до стены (м), S>0;
h - высота стены (м), h>0.
Результатом является одно из сообщений: “Снаряд попал в стену”, “Снаряд не попал в стену”.
Для определения попадания снаряда в стену надо найти высоту L снаряда на расстоянии S от пушки: ведь попадание снаряда в стену означает, что 0<L<h. Перемещение снаряда по горизонтали и вертикали:
x=V*t*cosa
y=V*t*sina-g*t2/2, где g-ускорение свободного падения (9,8 м/с2).
Определим, сколько времени понадобится снаряду, чтобы преодолеть расстояние S:
t=S/( V*cosa).
Подставив это значение t в выражение для y, получим значение:
L=S*tga-g*S2/(2*V2*cos2a).
Если L<0, то снаряд до стены не долетит. Если L>h, то снаряд перелетит через стену.
Так выглядит электронная таблица в формате отображения формул:
| A. | B. | |
| 1. | Полет снаряда | |
| 2. | Исходные данные: | |
| 3. | a (град.) | 35 |
| 4. | V | 180 |
| 5. | S | 3000 |
| 6. | h | 6 |
| 7. | g | 9,8 |
| 8. | a (радианы) | =B3*ПИ()/180 |
| 9. | L | =B5*TAN(B8)-B7*B5^2/(2*B4^2*(COS(B8))^2) |
| 10. | Результат | =ЕСЛИ(И(B9>0;B9<B6);"Попал";"Не попал") |
Компьютерный эксперимент
1. Введите значения исходных данных:
Например: a=35; V=180; S=3000; h=6; g=9.8 и проанализируйте результат.
(Результат “Не попал”)
2. Найти такой угол наклона пушки, не изменяя другие параметры системы, при котором снаряд попадет в цель. (Результат a=32.6; a=32.7)
3. Найти такую скорость снаряда, не изменяя другие параметры системы, при котором снаряд попадет в цель. (Результат V=177)
4. Усовершенствуйте модель таким образом, чтобы результатом являлось одно из сообщений: “Снаряд попал в стену”, “Недолет”, “Перелет”.
Анализ результатов
Данная компьютерная модель позволяет проводить вычислительный эксперимент, взамен физическому. Меняя значения исходных данных, можно видеть все изменения происходящие в системе, производить расчет на поражение цели в зависимости от угла наклона пушки и скорости снаряда.
Задача 3
Две моторные лодки равномерно двигались по реке в направлении к озеру, в которое река впадает. Поравнявшись, они начали двигаться равноускоренно. Какая из лодок раньше дойдет до озера? [11]
5.4 Экология
Задача 1
Представьте себе, что на Земле останется только один источник пресной воды — озеро Байкал. На сколько лет Байкал обеспечит население всего мира водой?
Постановка задачи
Цель моделирования — определить количество лет, в течение которых Байкал обеспечит население всего мира водой, исследовать построенную модель.
Объектом моделирования является система, состоящая из двух компонентов: озеро Байкал и население Земли.
Зная количество воды в Байкале, численность населения Земли и потребляемость воды на 1 человека, можно найти на сколько лет ее хватит. При составлении этой модели мы не учитываем возможные изменения климатических условий. Мы также считаем постоянными численность населения Земли и потребляемость воды на 1 чел. в день. (Человечество потребляет на свои нужды огромное количество пресной воды. Основными ее потребителями являются промышленность, сельское и коммунально-бытовое хозяйство. Объем потребляемой воды зависит от уровня жизни, составляя от 3 до 700 л на одного человека.)
Разработка модели
Для построения математической модели определим исходные данные. Обозначим:
V - объем озера Байкал 23000 км3;
N - население Земли 6 млрд. чел.;
p - потребление воды в день на 1 человека (в среднем) 300 л.
Так как 1л. = 1 дм3 воды, необходимо выполнить перевод V воды озера из км3 в дм3. V (км3) = V * 109 (м3) = V * 1012 (дм3)
Результат — количество лет, за которое население Земли использует воды Байкала, обозначим g. Итак, g=(V*1000000000000)/(N*p*365)
Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул:
| A. | B. | |
| 1. | Задача об использовании вод Байкала | |
| 2. | Исходные данные | |
| 3. | V(км3) | |
| 4. | N (чел) | |
| 5. | p (л) | |
| 6. | g (год) | =(B3*1000000000000)/(B4*B5*365) |
Компьютерный эксперимент
1. Введите в компьютерную модель исходные данные.
| A. | B. | |
| 1. | Задача об использовании вод Байкала | |
| 2. | Исходные данные | |
| 3. | V(км3) | 23000 |
| 4. | N (чел) | 6000000000 |
| 5. | p (л) | 300 |
| 6. | g (год) | 35 |
2. Сколько лет можно будет пользоваться водами Байкала, если потребляемость воды увеличится до 400 литров на человека?
3. Сколько лет можно будет пользоваться водами Байкала, если население Земли уменьшится до 5,7 млрд. чел.?
Анализ результатов
Построенная модель позволяет прогнозировать время использования вод Байкала с учетом потребляемости воды на 1 человека, изменения численности населения всего мира. Данную модель можно уточнить, учитывая изменения климатических условий.
Задача 2
Известны ежегодные показатели рождаемости и смертности некоторой популяции. Рассчитайте, до какого возраста могут дожить особи одного поколения.
Постановка задачи
Цель моделирования — исследовать изменение численности поколения популяции в зависимости от времени, определить возраст до которого могут дожить особи одного поколения популяции.
Объектом моделирования является процесс ежегодного изменения количества одного поколения популяции, который зависит от рождаемости популяции и ее смертности.
Разработка модели
Так как ежегодная рождаемость популяции соответствует количеству особей одного поколения в популяции, то исходными данными являются:
x - количество особей в 1 год;
p - ежегодная смертность (%).
Численность популяции в каждом следующем году рассчитывается по формуле: xi+1=xi - xi*p/100. Расчет производим до тех пор, пока значение xi не станет <1.
Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул:
| A. | B. | |
| 1. | Задача о прогнозировании численности популяции | |
| 2. | Исходные данные | |
| 3. | смертность (%) | |
| 4. | рождаемость | |
| 5. | 1 год | B4 |
| 6. | 2 год | =B5-B5*$B$3/100 |
| 7. | 3 год | =B6-B6*$B$3/100 |
Формулу копируем.