Г. В. Глебович переходные процессы и основы синтеза линейных радиотехнических цепей (стр. 2 из 6)

1.2. Включение цепи R, C на постоянное напряжение

Пусть в момент t=0 цепь, состоящая из последовательно соединенных активного сопротивления R и не заряженной емкости C, подключается к источнику постоянного напряжения E (рис.1.1). Наличие переходного процесса в данной цепи связано с тем, что при весьма кратковременном ("мгновенном") изменении внешнего воздействия энергия поля конденсатора не может измениться мгновенно. Действительно, при скачкообразном изменении запаса энергии в цепи мощность, потребляемая цепью, принимала бы бесконечно большое значение, что не имеет физического смысла. Энергия электрического поля емкости

Поэтому условие отсутствия скачкообразного изменения энергии означает, что в цепи R,C напряжение на емкости

скачком изменяться не может.

Выясним законы изменения напряжения на элементах схемы во времени, т.е. найдем характер переходного процесса. На основании второго закона Кирхгофа для данной цепи при t = 0 имеем

(1.3)

где

и - соответственно падение напряжения на сопротивлении и напряжение на емкости C. С момента включения цепи начинается заряд конденсатора через активное сопротивление. Ток в цепи , a напряжение на сопротивлении .

Тогда выражение (l.3) принимает вид

(1.4)

Общее решение полученного линейного дифференциального уравнения первого порядка (l.4) представим аналогично выражению (l.2) в виде суммы напряжений на емкости

- для свободного процесса и - для вынужденного процесса в цепи

(1.5)

Напряжение

должно быть равно напряжению источника E к концу переходного процесса, так как конденсатор зарядится до напряжения E при . Напряжение есть решение однородного уравнения

т.е. имеет вид

где A – постоянная интегрирования, а

- постоянная времени цепи заряда конденсатора, т.е. время, за которое напряжение уменьшается в раз. Зная выражение для , подставим его в равенство (1.5) и получи решение уравнения (1.4).

(1.6)

Постоянная A определяется из начальных условий для данной цепи, заключающихся в том, что при t=0,

= 0, так как в момент включения цепи напряжение на конденсаторе скачком измениться не может в силу непрерывного характера изменения энергии электрического поля конденсатора. Таким образом, при t=0 из (l.6) имеем 0=A+E т.е. A=-E и

Напряжение на конденсаторе в процессе его заряда возрастает no экспоненциальному закону, приближаясь к величине E тем быстрее, чем меньше постоянная времени цепи

. Теоретически при . Однако на практики вводят понятие времени установления стационарного процесса , определяемое из условия, что за это время напряжение на емкости достигает величины 0,95 E, т.е.

откуда получаем

или

Время установления также часто определяется как разность моментов времени

и

, т.e. . Здесь в моменты

и напряжение на емкости достигает соответственно значений 0,lE и 0,8E, т.е. имеют место равенства

откуда определяется время установления

Для тока в цепи находим выражение

(1.8)

т.е. ток убывает по экспоненциальному закону, а следовательно, и напряжение на сопротивлении

также убывает по этому закону, ибо

(1.9)

Как видно из (1.8),при t=0

, т.е. он изменяется скачком от нуля до

. В цепи R,C скачок тока допустим.

Графики изменения напряжений в цепи приведены на рис.1.2.

В процессе заряда емкости половина энергии, отдаваемой источником, переходит в энергию, запасаемую емкостью, а вторая половина расходуется в активном сопротивлении, переходя в тепло. Энергия, расходуемая на сопротивлении

где

- энергия, накопленная в емкости.

1.3. Разряд конденсатора на активное сопротивление

Если конденсатор

, предварительно заряженный до напряжения замкнуть в момент на сопротивление (рис.1.3), то будет происходить его разряд. В данном случае внешнего воздействия нет и следует рассматривать лишь свободный процесс в цепи, т.е. уравнение (l.4) будет

,

решением которого является выражение

.

Для определения константы интегрирования

воспользуемся начальным условием задачи: при

.Поэтому и тогда решение принимает вид

.

Ток разряда

(1.10)

Сравнивая выражения (1.8) н (1.10),видим, что, как и следовало ожидать, направление тока разряда противоположно направлению тока заряда емкости для этой же цепи. Графики изменения напряжения и тока приведены на рнс.1.4. В процессе разряда емкости вся энергия, запасенная в ней, расходуется в активном сопротивлении в виде тепловых потерь.