Г. В. Глебович переходные процессы и основы синтеза линейных радиотехнических цепей (стр. 3 из 6)

1.4. Включение цепи R, L на постоянное напряжение

Рассматриваемая цепь приведена на рис.1.5.Так как энергия магнитного поля катушки индуктивности равна

,

и она не может изменяться скачком при мгновенном изменении внешнего воздействия, то отсюда заключаем, что в цепи R, L ток скачком изменяться не может. Требуется конечное время переходного процесса, пока ток в цепи не достигнет стационарного значения. Рассмотрим этот процесс. Уравнение Кирхгофа для такой цепи

Рис. 1.5

(1.11)

Общее решение этого уравнения

, где - свободный ток, являющийся решением однородного уравнения

т.е.

.Ток - вынужденный, который при достигает постоянной величины, равной , ибо э.д.с, самоиндукции при становится равной нулю. Таким образом,

,

здесь

- постоянная времени,

- постоянная интегрирования, определяемая начальным условием задачи, т.е. количеством энергии, имеющимся в магнитном поле катушки в момент . По условию при ток , энергия в катушке не запасена. Следовательно, из выражения для тока находим . Общее решение уравнения (1.11) будет

(1.12)

Из этого выражения видно, что ток нарастает по экспоненциальному закону, достигая установившейся величины

тем быстрее, чем меньше постоянная времени . Как и при заряде емкости, можно за время установления принять время, равное .

По известному току

находится напряжение на активном сопротивлении и на индуктивности

.

(1.13)

(1.14)

Графики тока

и напряжения приведены на рис.1.6. Так как до включения цепи напряжение на индуктивности было равно нулю, а в момент включения , то напряжение на индуктивности изменяется скачком, а ток изменяется непрерывно, ибо с его величиной связана энергия, запасаемая в магнитном поле катушки.

Необходимо отметить аналогию в характере изменения тока в данной цепи и напряжения на емкости

в цепи при включении их на постоянное напряжения (см. рис. 1.4 и 1.6). Такая же аналогия имеет место относительно величин и в этих же цепях.

1.5. Разряд конденсатора в цепи

.

Пусть предварительно заряженный до напряжения конденсатор емкостью

в исходный момент времени замыкается на последовательно соединенные активное сопротивление и катушку индуктивности (рис.1.7). Рассматриваемая цепь содержит, в отличие от предыдущих примеров, два энергоемких параметра - емкость и индуктивность. Поэтому составленное на основании второго закона Кирхгофа уравнение приводится к дифференциальному уравнению второго порядка.

Действительно, имеем для суммы напряжений на элементах цепи

, (1.15)

или, так как

,

уравнение приводится к виду

. (1.16)

Аналогичное уравнение записывается и для тока в цепи

. (1.17)

Решением однородного уравнения (1.17) является

,

Где

- корни характеристического уравнения

,

т.е.

,

где

, , .

Тогда решение уравнения (1.17)

. (1.18)

Постоянные интегрирования

и находятся из начальных условий задачи. Так как в момент замыкания цепи конденсатор заряжен до напряжения , а в индуктивности энергия не запасена, то при , , . Поэтому из (l.l8) находим , т.е. , а из (1.15) имеем при или . Находя из (1.18) и учтя предыдущее равенство, получаем

.

Подставив значения констант

и в выражение (1.18), находим ток

. (1.19)

Аналогично получается решение уравнения (1.18) для напряжения на емкости

. (1.20)

В зависимости от того, будет ли

величиной мнимой или действительной, т.е. если или в цепи наблюдаются различные по характеру переходные процессы.