Г. В. Глебович переходные процессы и основы синтеза линейных радиотехнических цепей (стр. 4 из 6)

В случае

или иначе , величина - действительная. Пользуясь выражением (1.19) имеем

. (1.21)

Согласно выражению (l.21) на рис.1.8 построен график тока

, а также приведен график напряжения на емкости . В рассматриваемом случае характер процесса в цепи носит название апериодического разряда конденсатора. Граничным случаем апериодического процесса является случай, когда . T.e. . Величина тока для этого случая находится, если раскрыть неопределенность, получающуюся в выражении (1.19). Закон изменения тока во времени здесь таков:

.

Как видно из рис.1.8, при апериодическом разряде емкости ток в цепи вначале равен нулю, что объясняется противодействием э.д.с, самоиндукции катушки. Затем по мере убывания этой э.д.с. ток по абсолютной величине растет. Однако в процессе разряда емкости напряжение

убывает, и ток с некоторого момента также начинает убывать.

В случае

, т.е. , величина - мнимая, а корни характеристического уравнения

,

где

. Тогда по формулам (1.19) и (1.20) находим

(1.22)

(1.23)

где

.

Для контура с высокой добротностью, т.е. если

, то и , a напряжение на емкости

.

Графики тока и напряжения для этого случая приведены на рис.1.9. Такой процесс называется колебательным разрядом конденсатора. В течение этого процесса через каждые четверть периода колебаний происходит обмен энергией, запасенной в конденсаторе и катушке индуктивности. При этом часть энергии теряется в активном сопротивлении, что является причиной убывания амплитуды колебаний напряжения и тока с ростом времени, т.е. колебания затухают. Коэффициент , носящий название коэффициента затухания, определяет скорость убывания амплитуды во времени. Частота

(1.24)

называется частотой собственных колебаний (или свободных колебаний) контура. Как видно, она зависит не только от реактивных параметров контура, но и от активного сопротивления, в отличие от резонансной частоты контура

, введенной при рассмотрении стационарных колебательных процессов в контуре.

Затухание колебаний иногда характеризуют логарифмическим декрементом затухания

, являющимся натуральным логарифмом отношения амплитуд тока или напряжения, определяемых в моменты времени и , т.е.

. (1.25)

Время, за которое амплитуда колебаний убывает в

раз, .иногда принимают за постоянную времени контура

. (1.28)

Интересно обратить внимание на то, что при последовательном соединении сопротивления коэффициент затухания не зависит от емкости . Но можно рассмотреть случай контура, в котором коэффициент затухания зависит от емкости и не зависит от индуктивности . Такой контур, где потери отнесены к емкости, изображен на рис. 1.10. Уравнение Кирхгофа для этой цепи приводится к дифференциальному уравнению, имеющему вид

,

или, так как

, имеем:

.

Решение этого уравнения

,

где

- коэффициент затухания.

1.6. Воздействие постоянного напряжения на L,C,R цепь

Пусть постоянное напряжение

подключается в момент к последовательному контуру (рис.1.11).Уравнение Кирхгофа для рассматриваемой цепи имеет вид

, (1.27)

и его общее решение

, где - вынужденный ток, в данном случае равный нулю, так как переходный процесс заканчивается, как только конденсатор зарядится до напряжения , а ток заряда прекратится. Ток - свободный ток, являющийся решением однородного уравнения

,

рассмотренного в предыдущем примере. Однако начальные условия данной задачи несколько отличаются от условий предыдущей задачи. Здесь при

имеем , , а напряжение на индуктивности . Поэтому в выражении для решения этого однородного уравнения

постоянные интегрирования

и равны

и тогда ток

описывается выражением

, (1.28)

напряжение на индуктивности выражается зависимостью

, (1.29)

а для напряжения на емкости в соответствии с (1.27) получаем

. (1.30)

Если корни характеристического уравнения - действительные, т.е. если , то цепь апериодическая и на основании выражений (1.28), (1.29) и (l.30) можно построить графики для ,

и

(рис.1.12). Как видно из рисунка, напряжение на конденсаторе в процессе его заряда монотонно возрастает, приближаясь при к величине . Ток вначале возрастает по мере уменьшения э.д.с. самоиндукции. Однако, с увеличением напряжения на емкости ток ее заряда должен уменьшаться. Поэтому достигнув в момент максимума, ток спадает, а напряжение на индуктивности меняет знак.