4. устойчивость систем автоматического управления (стр. 3 из 8)
 Рис. 4.1.6. |
Критерий Гурвица. Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица D по алгоритму:
1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an;
2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.
Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все n главных диагональных миноров матрицы Гурвица были положительны. Число определителей Гурвица равно порядку характеристического уравнения п.
Критерий Гурвица применяют при n ≤ 5. При больших порядках возрастает число определителей, и процесс становится трудоемким. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ.
4.2. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ [7, 8, 11].
Частотные методы исследования устойчивости основаны на связи расположения корней характеристического полинома (обозначим его функцией D(р) для любого типа систем) с годографом этого полинома на комплексной плоскости, т.е. с графиком комплексной функции D(jw) при изменении w от 0 до ∞. Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик систем судить об их устойчивости. Их достоинство - в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.
Принцип аргумента. Запишем характеристический полином в виде
D(p) = a0 (p-p1) (p-p2)… (p-pn) = 0,
Его корни: pi = ai + jwi = |pi| exp(j arg(pi)), где arg(pi) = arctg(wi/ai) + kp, |pi| - значения модулей корней.
 Рис. 4.2.1. |
Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис. 4.2.1а), тогда разность p - pi изобразится разностью векторов (рис. 4.2.1б), где p - любое число.
Если изменять значение p произвольным образом, то конец вектора p - pi будет перемещаться по комплексной плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как pi - это конкретное неизменное значение. В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой w, то p = jw, а характеристический полином принимает вид:
D(jw) = a0 (jw - p1) (jw - p2) ... (jw - pn).
При этом концы векторов jw - pi будут находиться на мнимой оси (рис. 4.2.1в). Если менять w от -∞ до +∞, то каждый вектор jw - pi будет поворачиваться относительно своего начала pi на угол +p для левых и -p для правых корней (рис. 4.2.1г).
Характеристический полином можно представить в виде
D(jw) = |D(jw)| exp(j arg(D(jw))),
где |D(jw)| = a0 |jw-p1| |jw-p2| ... |jw-pn|, arg(D(jw)) = arg(jw-p1) + arg(jw-p2) + ... + arg(jw-pn).
Пусть из n корней m - правые, а n-m - левые, тогда угол поворота вектора D(jw) при изменении w от -∞ до ∞ равен
= (n-m)p - mp,или при изменении w от 0 до +∞:
= (n - 2m) (p/2). (4.2.1)Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора D при изменении частоты от -∞ до +∞ равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на p, а при изменении частоты от 0 до +∞ эта разность умножается на p/2.
Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.
Критерий устойчивости Михайлова. Так как для устойчивой системы число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(jw) составит
= np/2. (4.2.2)  Рис. 4.2.2. |
Система будет устойчива, если вектор D(jw) при изменении частоты от 0 до +∞ повернется на угол np/2. При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Для построения годографа выражение (4.1.6) записывается с заменой p на jw в форме:
a0pn+a1pn-1+…+ an-1p+an = D(jw ) = P(w) + jQ(w),
где P(w) - вещественная часть, как сумма всех членов характеристического уравнения, содержащих j в четных степенях, Q - мнимая часть выражения. Годограф начинается на положительной полуоси при D(0) = an, и, при изменении частоты от 0 до ∞, последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, с уходом в бесконечность в n-ом квадранте (рис. 4.2.2а).
Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис. 4.2.2б)), то такая система неустойчива - это и есть необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.
Критерий удобен своей наглядностью и используется, если известно уравнение замкнутой системы. Если кривая проходит вблизи начала координат, то система находится вблизи границы устойчивости и наоборот.
 Рис. 4.2.3. |
Критерий устойчивости Найквиста. Этот критерий основан на связи свойства устойчивости замкнутой системы с формой АФЧХ разомкнутой устойчивой системы. Разомкнутой системой являются все последовательно соединенные блоки от входа системы до точки замыкания обратной связи (рис. 4.2.3). Исследование разомкнутой системы проще, чем замкнутой, и его можно производить экспериментально.
Передаточная функция Wpc разомкнутой системы:
Wpс(jw) = Kpc(jw)/Hpc(jw),
с углом поворота фазы в соответствии с выражением (4.2.2):
D arg Hрс(jw) = np/2, 0 ≤ w ≤ ∞. (4.2.3)
АФЧХ замкнутой системы описывается выражением:
Wзс(jw)= Wpc(jw) /[1+ Wpc(jw)]. (4.2.4)
Обозначим знаменатель этого выражения через W1(jw):
W1(jw)=1+Wpc(jw)=1+Kpc(jw)/Hpc(jw)=H(jw)/Hpc(jw), (4.2.5)
где H(jw) = Kpc(jw) + Hpc(jw), характеристический полином замкнутой системы при р=jw.
В соответствии со свойствами передаточных функций порядок полинома Н(р) не превышает порядка полинома Hpc(p), т.к. H(p)=Kpc(p)+Hpc(p), а порядок полинома Kpc(p) меньше порядка полинома Hpc(p). Поэтому критерий Михайлова для замкнутой системы соответствует выражению:
D arg H(jw) = (n - 2m) (p/2), 0 ≤ w ≤ ∞. (4.2.6)
где m - число правых корней системы, имеющей в замкнутом состоянии характеристический полином Н(р)=0.
Из (4.2.5) следует:
D arg W1(jw) = D arg H(jw) - D arg Hpc(jw).
C учетом (4.2.3):
D arg W1(jw) = (n - 2m) (p/2) - np/2 = -mp. (4.2.7)
В устойчивой замкнутой системе правых корней в характеристическом уравнении нет, т. е. m=0, а, следовательно, условием устойчивости замкнутой системы будет:
D arg W1(jw) = 0. (4.2.8)
Условие (4.2.8) выполняется только тогда, когда кривая W1(jw) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает начала координат комплексной плоскости. Действительно, только в этом случае результирующий поворот вектора W1(jw) при изменении w от 0 до ∞ будет равен нулю, так как возрастание угла j(w), обусловленное движением вектора W1(jw) в положительном направлении (против часовой стрелки), будет компенсироваться таким же убыванием j(w), обусловленным движением вектора W1(jw) в отрицательном направлении (по часовой стрелке).
Как видно из (4.2.5), переход на комплексной плоскости от годографа вектора W1(jw) к годографу вектора АФЧХ разомкнутой системы Wpс(jw) осуществляется сдвигом кривой W1(jw) влево на -1, так как Wpc(jw) = W1(jw) -1. С учетом этой операции, получаем следующую формулировку амплитудно-фазового критерия устойчивости Найквиста: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы Wpс(jw) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0) (рис. 4.2.4, годограф 2).
 Рис. 4.2.4. |
Более общая формулировка критерия Найквиста относится к системам, имеющим так называемую АФЧХ второго рода (рис. 4.2.4, годограф 1), когда Wpс(jw) пересекает (неограниченное количество раз) вещественную ось левее точки Re Wpc(w) = -1. Будем считать положительным переход годографа через вещественную ось, если он совершается сверху вниз, и отрицательным, если он совершается снизу вверх. Для таких годографов критерий Найквиста формулируется в следующем виде: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если при изменении частоты от 0 до +∞ разность между числом положительных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы через участок вещественной оси (-1; -∞) и числом отрицательных переходов равна нулю. Из этого условия видно, что система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ в форме кривой 1 на рис. 4.2.4, устойчива и в замкнутом состоянии.