4. устойчивость систем автоматического управления (стр. 5 из 8)
Понятие точности является центральным в теории автоматического управления, так как позволяет количественно выразить показатели качества систем. Различают точность, рассматриваемую в переходном процессе - динамическая точность, и точность в установившемся режиме - статическая точность.
 Рис. 4.4.1. |
Проще всего рассмотреть понятие точности на примере следящей системы. Для этого наилучшим образом применима передаточная функция по ошибке, позволяющая записать сигнал ошибки при любом виде задающего воздействия:
e(p) = We(p) Uзад(p) + Wef(p) f(p).
Статическая точность в следящей системе определяется при гармоническом входном воздействии с использованием передаточной функции по ошибке.
e(p) = Wc(p) Uзад(p), Wc(p) = 1/(1+W(p)).
 Рис. 4.4.2. |
Рассмотрим логарифмическую частотную характеристику системы в установившемся режиме при гармоническом входном воздействии (рис. 4.4.2). Жирной линией показан идеальный случай абсолютно точной системы. Реальная частотная характеристика отличается от идеальной и в некоторой полосе (wн, wв) не выходит за пределы допуска e. Такое же рассуждение справедливо и для ФЧХ. Задав допустимые границы точности по амплитуде и по фазе, получим область частот, где гарантируется данная точность - это полоса пропускания. Задавая требуемую рабочую частоту по приведенным выше формулам можно вычислить ошибку на этой частоте при гармоническом воздействии.
Общий способ повышения точности (в статическом и динамическом режимах) – обеспечение следующих оценок:
Wзс(p) = W(p)/(1+W(p) » 1 - Мера точности воспроизведения задающего воздействия в замкнутой системе.
Wс(p) = 1/(1+W(p) » 0 - Мера малости ошибки слежения.
Один из основных способов повышения точности - увеличение коэффициента k разомкнутой системы. При увеличении k оба приближённых равенства оценок выполняются всё более точно, что говорит об общем повышении точности, причём это повышение точности происходит при любой W(p).
Однако это не значит, что можно таким образом достичь любой желаемой точности. Здесь начинает сказываться одно из фундаментальных противоречий в рамках теории управления - противоречие между точностью системы и запасом устойчивости. При чрезмерном увеличении k возможна потеря устойчивости замкнутой системы. Годограф Найквиста, не охватывающий точку (-1; j0), но проходящий, например, из 3 квадранта во второй (см., например, кривую 1 на рис. 4.2.4), при увеличении k "раздувается" относительно начала координат и начинает охватывать эту точку, то есть нарушается условие критерия устойчивости Найквиста. Повышение точности всегда приводит к уменьшению запаса устойчивости по амплитуде.
Конкретные значения точности анализируемой системы проводятся разложением We(p) в ряд Тейлора в окрестностях p=0 и анализом коэффициентов этого ряда.
Динамическая точность относится к более сложным задачам анализа систем, т.к. требует изучения всего переходного процесса. При достаточно большом значении модуля АФЧХ в разомкнутой системе передаточная функция прямой ветви имеет пренебрежимо малое значение, передаточная функция замкнутой системы будет в основном определяться цепью ОС. Если коэффициент передачи разомкнутой системы много больше единицы W(p)Woc(p) >>1 и |W(p)| >>1, то для замкнутой системы можно принять:
Wзс(p) = W(p)/(1+W(p)Woc(p)) » 1/Woc(p),
что существенно упрощает анализ системы.
Для повышения динамической точности системы обычно используется принцип комбинированного управления по задающему воздействию (принцип инвариантности).
 Рис. 4.4.3. |
Добавим в стандартную структуру системы дополнительную передаточную функцию Y(p) » 1/(W(p)Woc(p)) так, чтобы сигнал ошибки вообще не зависел от задающего воздействия (рис. 4.4.3). Это можно выполнить введением в систему дополнительной ветви прохождения сигнала, и подобрать коэффициент передачи в этой ветви так, чтобы компенсировать нежелательный сигнал. Аналогичная операция может быть выполнена и на возмущающее воздействие f(p).
4.5. КАЧЕСТВО СИСТЕМ [1, 2, 8, 12].
Показатели качества систем управления. Требование устойчивости для системы относится к числу необходимых, но не может считаться достаточным. Система может быть устойчивой, но время затухания настолько велико или ошибка в установившемся режиме настолько большая, что практически данная система не может быть использована. Поэтому система должна быть не только устойчивой, но иметь определенный переходный процесс, а ошибки в установившихся режимах не должны превышать допустимых.
Характер переходного процесса линейной системы в отличие от устойчивости зависит не только от параметров системы, но и от вида возмущающего (задающего) воздействия и начальных условий. Чтобы сравнивать системы по характеру переходного процесса, из возможных воздействий выбирают типовые или наиболее неблагоприятные и определяют кривую переходного процесса при нулевых начальных условиях. В качестве типовых воздействий обычно принимают единичное ступенчатое воздействие, единичный импульс, линейно нарастающее и синусоидальное воздействие. Для большинства систем наиболее неблагоприятным является воздействие вида единичной ступенчатой функции a(t) =1(t). Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях называется переходной функцией системы. Для следящих систем обычно рассматривают переходную функцию H(t), вызванную изменением задающего воздействия 1(t), а для систем стабилизации - переходную функцию Hf(t), вызванную изменением возмущающего воздействия f(t).
Точность системы в установившихся режимах оценивается с помощью статических и динамических ошибок. Эти ошибки по аналогии можно назвать показателем качества системы в установившихся режимах. Совокупность показателей качества переходного процесса и установившихся режимов называется показателями качества системы в целом.
Считается, что система обладает требуемым качеством, если ее показатели качества не превышают заданных значений, определенных назначением системы.
 Рис. 4.5.1 |
Рассмотрим поведение системы управления (рис. 4.5.1), предназначенной для решения задачи слежения - соблюдения заданного закона изменения выходной переменной y(t). Последнее выражается в виде целевого условия
y(t) → у*(t), e(t) → 0, (4.5.1)
e(t) = y*(t) - у(t),
где e(t) - ошибка (рассогласование) системы. При ненулевых начальных рассогласованиях система должна с течением времени обеспечить с некоторой степенью точности совпадение входного (задающего) y*(t) и выходного y(t) сигналов (устранение ошибки e(t)).
Мгновенное устранение возникающих рассогласований e(t) в реальных системах невозможно в силу инерционности систем регулирования и ограничений, накладываемых на управляющие воздействия. Практически неосуществимо и абсолютно точное выполнение асимптотических условий (4.5.1) в силу действующих возмущений и дестабилизирующих факторов. Указанные соображения приводят к необходимости введения специальных показателей качества, характеризующих эффективность решения той или иной задачи управления.
Выходная переменная возмущенной системы определяется суммой свободных и вынужденных составляющих движения:
y(t) = yсв(t) + yв(t),
где в силу устойчивости системы выполняется условия
yсв(t) → 0, yв(t) → yу(t), (4.5.2)
Условия (4.5.2) соответствуют переходному режиму системы, по окончанию которого система "переходит" в установившийся режим yy(t).
В зависимости от свойств системы переходный режим может оказаться достаточно быстрым или медленным, монотонным или колебательным. Для оценки поведения системы в переходном режиме вводятся динамические показатели качества, т. е. численные оценки быстродействия и колебательности системы (время переходного процесса, затухание, перерегулирование, и пр.).
Наиболее просто оценить качество переходного режима автономной системы, для которой вынужденная составляющая отсутствует. В установившемся режиме выходная переменная системы в идеальном случае должна быть идентична задающему воздействию, что соответствует нулевому значению установившейся ошибки.
Существует ряд универсальных приемов, позволяющих одновременно оценить динамические и/или точностные показатели системы, к которым относятся методика оценки качества по переходной функции, оценка по интегральным критериям и т. д.
 Рис. 4.5.2. |
Показатели качества переходного процесса. Переходная функция системы оценивается с помощью совокупности характеристик, называемых показателями качества переходного процесса. Принято использовать следующие стандартные показатели качества переходного процесса, отражённые на типичном графике 1 переходного процесса в следящей системе со ступенчатым задающим воздействием (рис. 4.5.2):
· tпп - время переходного процесса, по истечении которого отклонение управляемой величины y(t) относительно заданного значения yзад по абсолютному значению становится (и остается в дальнейшем) меньше определенной заданной величины eуст. Обычно принимается eуст = d yзад, d = 0.05. Время регулирования характеризует быстроту затухания переходного процесса.