Механика методические указания по выполнению курсовой работы по разделу "Кинематика" для студентов очной и заочной форм обучения специальности 200101 «Приборостроение» Часть 2 Санкт-Петербург (стр. 2 из 9)
Указания. Задача K1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения
В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 = 1 с. В некоторых вариантах задачи K1a при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: 
.
Рис. К1.0 Рис. К1.1 Рис. К1.2
Рис. К1.3 Рис. К1.4 Рис. К1.5
Рис. К1.6 Рис. К1.7 Рис. К1.8Пример K1a
Дано: уравнения движения точки в плоскости ху:
, 
(х, у — в сантиметрах, t — в секундах).
Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1 с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу
или 
(1)Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим
, 
,следовательно,
Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. K1a):
(2)2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:
; 
; 
при t1 = 1 с
, 
, 
(3)3. Аналогично найдем ускорение точки:
, 
; 
и при t1 = 1 c
, 
, 
(4)Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство
. Получим 
,откуда
(5)Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t1 = 1
.Нормальное ускорение точки
Подставляя сюда найденные числовые значения a1 и a1t , получим, что при t1 = 1 с 
.4. Радиус кривизны траектории
. Подставляя сюда числовые значения 
и 
, найдем, что при t1 = 1 с 
.Ответ:
, 
, 
, , 
. 
Пример К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2м по закону 
(s — в метрах, t — в секундах), где s = AM (рис.К1б). 
Определить скорость и ускорение точки в момент времени t1 = 1с.Решение. Определяем скорость точки:
.При t1 = 1 с получим
Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:
, 
При t1 = 1 с получим, учитывая, что R = 2 м,
, 
Тогда ускорение точки при t1 = 1 с будет
Изобразим на рис. К1,б векторы
и 
, учитывая знаки и a1 и считая положительным направление от А к М.Задача К2
Механизм состоит из ступенчатых колес 1—3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0 — К.2.9, табл. К.2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 — r1 = 2 см, R1 = 4 см, у колеса 2 — r2 = 6 см, R2 = 8 см, у колеса 3 — r3 = 12 см, R3 = 16 см. На ободьях колес расположены точки A, В и С.
В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где
— закон вращения колеса 1, 
— закон движения рейки 4, 
— закон изменения угловой скорости колеса 2, 
— закон изменения скорости груза 5 и т.д. (везде 
выражено в радианах, s — в сантиметрах, t — в секундах). Положительное направление для и 
против хода часовой стрелки, для s4, s5, v4, v5 — вниз.Определить в момент времени t1 = 2 с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (
— линейные, — угловые) и ускорения ( 
— линейные, 
— угловые) соответствующих точек или тел ( 
— скорость груза 5 и т.д.).