А. В. Воронин (стр. 10 из 29)

В общем случае зависимость силы трения от скорости может быть и нелинейной. Узел общего усилия с элементом потерь может отражать не только естественно существующее трение, но и специально вводимые в некоторые механизмы устройства: демпферы, амортизаторы.

Подобно упругости и трению моделируются в механических системах источники энергии (рис. 2.13,с). В большинстве случаев источник механического движения, воздействуя на некоторое тело, одновременно создает равное, но противоположное по знаку усилие на свою опору.

В относительном движении могут одновременно проявляться несколько эффектов. Например, при моделировании реальных пружин иногда требуется учитывать потери энергии за счет внутреннего трения в материале пружины. Граф пружины с внутренним трением можно представить параллельно соединенными моделями идеальной пружины и демпфера (рис. 2.13,d) или эквивалентным графом, который приведен на рис. 2.13,e. Очевидно, что элементы

могут соединяться подобным образом в любых сочетаниях, кроме одновременного использования и .

Рассмотрим моделирование поступательного движения трех ваго-неток, из которых две, массой

и , жестко связаны друг с другом, а между первой и второй вагонетками упруго-вязкая связь. В колесных парах присутствует трение . Вагонетки приводятся в движение человеком, который прикладывает к первой вагонетке силу .

Рис. 2.14. Граф механической системы:

a) кинематическая схема, b) исходный граф, c) упрощенный граф

Источник усилия

в исходном графе подключен через 0–узел. В результате, человек прикладывает одно и то же усилие как к вагонетке, так и к опоре, в данном случае, например, к Земле. Величина силы трения в колесных парах пропорциональна разности между скоростью вагонетки и скоростью опоры.

Строго говоря, неподвижное основание тоже представляет собой твердое тело с очень большой массой и может быть представлено в графе 1-узлом с подключенной к нему инерционностью. Однако этот узел является узлом общего потока (скорости), принимаемого равным нулю. Поэтому связи с неподвижным основанием, а также все связи 1-узлов, соединенных с неподвижным основанием, имеют нулевую мощность и, следовательно, могут быть исключены из графа. Таким образом, граф, полученный после эквивалентных преобразований, приведен на рис. 2.14,с.

Свойство связей с неподвижным основанием в механических системах аналогично свойству связей с общей точкой (массой) в электрических системах. Различие состоит только в том, что в ГС электрической системы исключается 0-узел (узел общего нулевого потенциала). Получить полную аналогию можно было бы, применяя при моделировании механических систем дуальную интерпретацию: считать силу потоком, а скорость усилием. В этом случае инерционность

в графах заменяется на емкость , 0-узлы на 1-узлы и наоборот. Однако вряд ли достоинства такого способа интерпретации оправдывают появляющиеся терминологические неудобства.

Приведенный на рис. 2.15 пример иллюстрирует моделирование вертикальных движений подвески автомобиля.

Рис. 2.15 Механическая система с поступательным перемещением

Граф связей приведен на рис. 2.15,b. Здесь предполагается, что источник усилия движется вместе с массой

. Это может быть сила инерции, либо, например, реактивный двигатель. Как и в предыдущем примере, модель b) включает неподвижное основание, а в модели с) это основание исключено со всеми своими связями.

Еще один простой пример моделирования рычага представлен на рисунке 2.16. Сила

действует на массу , а та, в свою очередь, через рычаг приводит в движение массу . Обе массы движутся поступа-тельно с трением. В данном случае рычаг моделируется с помощью элемента «Трансформатор».

Рис. 2.16. Кинематическая схема и граф рычага

Рассмотренная методика моделирования одномерного поступательного движения механических систем может быть без труда распространена и на системы с вращательным движением.

В этом случае роль силы

играет момент силы , линейной скорости – угловая скорость , массы – момент инерции и т.д. В уравнениях (2.21)–(2.26) изменятся только обозначения и размерности переменных и констант.

Приведенный на рис. 2.17 пример иллюстрирует построение ГС для узла передачи вращательного движения, включающего одну ступень редуктора с зубчатыми колесами и упругие валы

Рис. 2.17. Механическая вращающаяся система

Способ моделирования зубчатого соединения в рассмотренном примере справедлив, если основание неподвижно.

В случае, когда редуктор установлен на подвижном основании, как показано на рис. 1.18,а, ГС должен учитывать угловую скорость основания

.

Рис. 2.18. Модель с подвижным основанием

Граф на рис. 1.18,b показывает связь между абсолютными скоростями w₁ и w₂, а граф на рис. 1.18,c – связь между скоростями колес зубчатого соединения

, относительно основания. Последний граф можно преобразовать к более простому виду, приведенному на рис. 1.18,d. Здесь дополнительно учтено также трение в опорах валов.

2.6. Моделирование электромеханических систем

Любая электромеханическая система с точки зрения преобразования энергии может быть представлена состоящей их трех частей: электрической Э, механической М и электромеханического преобразователя ЭМП (рис.2.19). Построение математической модели электромеханической системы можно таким образом свести к детальному моделированию каждой из трех частей.

Рис. 2.19. Электромеханическая система

В качестве достаточно простого примера рассмотрим построение графа связей двигателя постоянного тока с независимым возбуждением.

В электрической части двигателя учтем индуктивное

и активное сопротивления обмотки якоря, куда «уходит» часть входной электрической энергии. В графе связей это можно отобразить инер-ционностью и элементом потерь, связанными в узле общего потока (тока).

В механической части учтем только инерционность ротора

. Электромеханический преобразователь будем считать идеальным, без потерь преобразующим электрическую энергию в механическую. Среди элементов ГС роль идеального преобразователя могут выполнять только трансформатор и гиратор. Выбор из этих двух элементов определяется характером связи электрических и механических переменных. Если принять во внимание, что вращающий момент двигателя пропорционален току в обмотке якоря, то есть усилие в одной связи пропорционально потоку в другой связи, то выбор становится однозначным: электромеханический преобразователь ведет себя как гиратор.

Построенный практически без формул граф связей двигателя постоянного тока приведен на рис. 2.20,а. Если для каждого 1-узла графа записать уравнения суммирования усилий, то получим:

(2.27)

где

– коэффициент передачи гиратора.