А. В. Воронин (стр. 11 из 29)

Полученные уравнения для многих приложений достаточно точно описывают процессы, протекающие в двигателе постоянного тока [26].

Более точная и полная модель такого двигателя представлена на рис. 2.20,b. Здесь в механической части двигателя учтены неизбежные потери на трение, а в электромеханическом преобразователе – зависимость коэффициента

от магнитного потока , создаваемого током в обмотке возбуждения.

, (2.28)

где

– конструктивный параметр, зависящий от количества пар полюсов и свойств якорной обмотки.

Рис. 2.20. Граф связей двигателя постоянного тока

В этой модели можно учесть также определяемую кривой намагничивания нелинейную зависимость индуктивности обмотки воз-буждения

от тока .

Важная особенность построенных моделей состоит в том, что в них явно не определены входы и выходы, что позволяет применять их для моделирования любых электрических машин постоянного тока, работающих как в двигательном, так и в генераторном режимах.

2.7. Получение математической модели графа связей

в форме системы уравнений

Самый простой способ построения математической модели проиллюстрируем на примере электрической схемы (рис.2.21,а), граф которой приведен на рис.2.21,b. Для этого пронумеруем все связи в графе и, обозначая в связи с номером

поток и усилие как и , соответственно, запишем компонентные уравнения каждого из элементов:

Рис. 2.21. Электрическая схема и ее граф

(2.29)

где

– оператор дифференцирования.

Примем начальные условия нулевыми. Тогда (2.29) удобнее рассматривать как систему операторных уравнений, где

– оператор Лапласа. В дальнейшем, в данной главе, будем придерживаться именно такой интерпретации символа .

Полученные 12 уравнений с 12 неизвестными могут быть записаны в матричной форме:

(2.30)

Решение системы уравнений (2.29) или (2.30) позволяет найти аналитические выражения для изображений всех потоков и усилий в графе.

Следует отметить, что матричная форма математической модели (2.30) более удобна при численном формировании и решении систем уравнений на ЭВМ. При обычном “ручном” моделировании решение может быть получено методом подстановок в (2.29). Например, для па-дения напряжения на резисторе

, последовательно исключая в (2.29) все переменные, кроме , получим

2.8. Причинные отношения в графе связей

Одной из чрезвычайно интересных и полезных особенностей ГС является возможность определения в нем вычислительной причинности. Чтобы пояснить суть этого термина, рассмотрим три формы записи одного и того же уравнения – закона Ома (элемента потерь графа связей):

, (2.31)

, (2.32)

. (2.33)

Первая формула представляет собой неявную запись закона, говорящую о том, что между током и напряжением существует взаимно однозначное соответствие.

Уравнения (2.32) и (2.33) не только задают закон Ома, но и показывают, как вычислить одну физическую величину через другую. Тем самым эти уравнения задают отношения причинности между пере-менными. В (2.32) причиной является ток

, а следствием – напряжение . В (2.33), наоборот, напряжение выступает как причина появления тока . Заметим, что в реальной электронной схеме, как правило, не имеет смысла искать ответ на вопрос: что появляется раньше – напряжение или ток. Причинность может быть чаще всего только вычислительной, имеющей смысл при математическом моделировании.

Причинность, а вместе с ней и форму зависимости между усилиями и потоками можно определить в графе связей. Она задается так называемой причинной стрелкой – отрезком на одном из концов связи. На рис. 2.22 показаны два возможных варианта причинности на связи, соединяющей 1-узел и элемент потерь. В первом варианте поток

является причиной, то есть входной переменной элемента потерь, а усилие является следствием или выходной переменной элемента потерь. Это дополнительно иллюстрируется на рисунке стрелками, наглядно показывающими вход и выход элемента . Первому варианту соответствует уравнение

.

Альтернативному варианту, представленному на рис. 2.22,b, соот-ветствует уравнение

.

Здесь причиной для элемента

является усилие , а следствием поток .

Рис. 2.22. Варианты причинности: a) причинность по отношению

к 1-узлу, b) причинность по отношению к

.

Заметим, что причинность на рис. 2.22 можно рассматривать не только по отношению к элементу потерь

, но и по отношению к 1–узлу. Тогда в первом варианте усилие является причиной (входом) для 1–узла, а поток – следствием (выходом) узла. Таким образом, каждая переменная является одновременно причиной (входом) для одного элемента, и следствием (выходом) для другого элемента.

Будем называть связь причинной по отношению к некоторому элементу, если причинная стрелка определяет в качестве входа этого элемента усилие

. Тогда связь на рис. 2.22,а можно назвать причинной по отношению к 1-узлу, а связь на рис. 2.22,b – причинной по отношению к элементу .

Таблица 2.3

Варианты расстановки символов причинности на ГС

ГС	Уравнения	Представление в операторно-структурной схеме
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

Возможные варианты расстановки причинности на связях различных элементов представлены в табл. 2.3. Расстановка причинных отношений в графе подчиняется перечисленным ниже требованиям.