Рис. 2.26. Построение структурной схемы
многомассовой механической системы с упругими связями
Для того, чтобы сразу получить удобную форму структурной схемы, можно предварительно проанализировать прямой путь прохождения сигнала в графе с расставленными причинными отношениями. Этот путь полностью задается направлениями причинности в узлах графа. Так, начинаясь с входного усилия в связи с номером 1, прямой путь может продолжиться только вдоль связи с номером 2, так как в связи 3 направление причинности противоположно. В 3–ю связь прямой путь может прийти только из второй связи после его прохождения через инерционность. Таким образом, прямой путь прохождения сигнала в структурной схеме выглядит довольно извилистым в графе связей. После построения прямого пути в структурной схеме системы (рис. 2.26,с) остается только замкнуть обратные связи.
2.10. Применение правила циклов к графу связей
Правило циклов [24] позволяет для направленного графа или струк-турной схемы записать передаточную функцию между любыми ее входами и выходами. В соответствии с этим правилом передаточная функция графа определяется как
, (2.34)где
– определитель графа; – передаточная функция -го пути между заданными входом и выходом; – определитель сокращенного графа, образующегося в результате исключения пути с передаточной функцией и вершин, через которые этот путь проходит, из исходного графа.Определитель графа может быть записан следующим образом:
, (2.35)где
– -е произведение передаточных функций циклов для циклов графа, взятых из множества независимых циклов. Сумма берется по всевозможным таким комбинациям.Поясним некоторые из используемых терминов. Циклом называется замкнутый контур в графе или структурной схеме. Передаточная функция цикла определяется как произведение передаточных функций всех звеньев, входящих в цикл.
Независимыми называются циклы, не касающиеся друг друга, то есть не имеющие в структурной схеме общих точек.
В формуле (2.35) –
функция -го контура, – произведение передаточных функций двух не касающихся друг друга контуров, – произведение передаточных функций трех взаимно не касающихся контуров и т.д.Например, в структурной схеме двигателя постоянного тока, приведенной на рис. 2.27, есть два цикла
и с передаточными функциямиЦиклы касаются друг друга, так как имеют общий участок, вклю-чающий сумматор и звено с передаточной функцией
, поэтому определитель .Рис. 2.27. Применение правила циклов к структурной схеме
Прямой путь от входного воздействия
к выходной величине проходит через элементы с передаточными функциями . Соответственно, передаточная функция этого пути равна .Этот путь касается обоих циклов, поэтому сокращенный граф циклов не имеет. Тогда
, а передаточная функция двигателя определится как .Путь от возмущающего момента нагрузки
определяется выражением.
Этот путь не касается цикла
, поэтому определитель сокращен-ного графа ,а передаточная функция двигателя по возмущению
.Вся информация, необходимая для расчета передаточной функ-ции, есть, очевидно, и в графе связей, так как из него можно получить структурную схему, к тому же в различных вариантах. Рис. 2.28,а иллюстрирует поиск пути
и циклов и в графе связей рассмот-ренной выше модели двигателя.Путь в ГС проходит вдоль связей, не меняющих направления причинности в узлах графа. Изменение причинности (то есть изменение усилия на поток и обратно) может происходить только в односвязных элементах (
) и в гираторе.Рис. 2.28. Пути и циклы в графе связей
Циклы в ГС, как это показано на рис. 1.28,с, образуются цепочками связей, сохраняющими направление причинности и заканчивающимися на обоих концах односвязными элементами
. Отметим, что источники энергии в циклы входить не могут. Как это показано на рис. 2.29 , цикл может включать последовательность 0-узлов и 1-узлов (рис. 2.29,а), трансформаторы (рис. 2.29,b) и гираторы (рис. 2.29,с). Передаточные функции циклов на рис. 2.29,a,b,c имеют вид, соответственно:Коэффициенты передачи трансформаторов и гираторов входят в передаточную функцию цикла в квадрате, поскольку цикл проходит через них дважды: один раз в прямом направлении, другой раз – в обратном.
Циклы, образуемые цепочками связей, называются плоскими циклами.
Рис. 2.29. Примеры плоских циклов
Рассмотрим решение задачи расчета передаточной функции механизма с редуктором, граф которого приведен на рис. 2.30.
Рис. 2.30 Циклы в графе связей
Передаточная функция единственного прямого пути
, проходя-щего последовательно через инерционность , трансформатор , емкость и инерционность определяется произведением переда-точных коэффициентов перечисленных элементовГраф содержит 5 циклов, отмеченных штриховыми линиями в графе. Передаточные функции циклов
Для того, чтобы найти все пары, тройки и т.д. не касающихся циклов, удобно построить вспомогательный граф (рис. 2.30,b), в котором каждая вершина соответствует одному из циклов, а дуга между вершинами проводится, если циклы не касаются.
Каждая дуга в этом графе соответствует паре не касающихся циклов. Таких пар пять:
.Вспомогательный граф наглядно показывает также тройку незави-симых циклов
, которая образует в треугольник. Четверок независимых циклов, которые образовали бы четырехугольник, здесь нет. Таким образом, определитель графа связей можно записать как