А. В. Воронин (стр. 16 из 29)
Рис. 3.1. Механизмы продвижения модельного времени
Во многих случаях, при малых значениях временного шага, это не имеет существенного значения. В других, может привести к ошибкам моделирования.
Метод
целесообразно использовать если:- Моделируется непрерывная система, процессы в которой представляют собой непрерывную цепь равнозначных событий;
- В моделируемой системе моменты появления событий обусловлены выполнением некоторых условий, связанных со значениями переменных системы, в результате чего эти моменты невозможно заранее определить.
Для мехатронных систем реализация принципа
является основным способом продвижения модельного времени, так как основу мехатронных систем составляют механические устройства, обладающие непрерывной динамикой.Принцип
, называемый также принципом особых состояний, предполагает, что продвижение модельного времени обусловлено событиями, происходящими в моделируемой системе. Как и в первом случае, модельное время меняется дискретно на величину , однако эта величина привязана не к динамическим характеристикам объекта, а представляет собой временной интервал между последовательными событиями в системе. Величина может иметь произвольную величину, в том числе быть равной нулю, если интервал между событиями пренебрежимо мал.Необходимым условием реализации моделирования по принципу
является разработка специальной процедуры планирования событий – так называемого календаря событий [10].Моделирование по особым состояниям целесообразно использовать, если моделируемая мехатронная система является принципиально дискретной, процессы в системе представляют собой цепь событий, которые распределены во времени неравномерно или интервалы между ними велики, между событиями изменений в системе не происходит.
Обычно, зависимость между скоростью изменения модельного времени и скоростью изменения физического времени является переменной и зависит от требуемых ресурсов компьютера. Однако, эта связь может быть и постоянной, что часто весьма желательно, например при анимации.
Для мехатронных систем достаточно характерным является режим, когда обработка модели должна быть связана с работой реального оборудования. В этом случае говорят, что имеет место моделирование в «режиме реального времени» (РРВ). Режим реального времени - режим обработки данных, при котором обеспечивается взаимодействие вычислительной системы с внешними по отношению к ней процессами в темпе, соизмеримом со скоростью протекания этих процессов. Этот режим обработки данных широко используется информационно-поисковых системах [21]. Кроме того, моделирование в РРВ актуально при полунатурном моделировании и, особенно, при использовании моделей в контуре управления реальными техническими системами.
Еще одна проблема в управлении модельным временем связана с тем, что многие технические системы имеют в своем составе компоненты, работающие одновременно, или, как обычно говорят, параллельно. Эти компоненты могут взаимодействовать между собой, либо работать независимо друг от друга. Учитывая, что в большинстве случаев моделирование ведется на однопроцессорных ЭВМ, возникает задача не только смоделировать параллельные процессы, но и обеспечить их взаимодействие.
Обычно, в таких случаях приходится организовывать квазипараллельные модельные процессы. Одновременные события обрабатываются одно за другим события при остановленном модельном времени. Время остается фиксированным до тех пор, пока не будут обработаны все события, привязанные к текущему моменту. В результате два одновременных события выполняются на ЭВМ последовательно, но в один и тот же момент модельного времени, т.е. одновременно с точки зрения системы. После этого модельное время опять оживает и начинает двигаться дальше шагами фиксированной длины (принцип
), либо прыгая от события к событию (принцип 
).3.2. Алгоритмы численного моделирования нелинейных
динамических систем
Реальные мехатронные объекты и мехатронные системы описываются, как правило, системами нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Для большинства задач, представляющих практический интерес, решение их аналитическими методами невозможно. Результаты могут быть получены путем построения приближенных решений с помощью численных методов интегрирования, в частности конечно-разностных методов.
Общая идея численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ)
заключается в том, что производится дискретизация независимой переменной - времени
на интервале 
и замена ее рядом значений 
(принцип 
). Расстояние между двумя соседними значениями 
называется шагом интегрирования. В частном случае он может быть постоянным на всем заданном интервале изменения переменной 
. В результате, системе дифференциальных уравнений тем или иным способом ставится в соответствие система конечно- разностных уравнений 
,где
– некоторая вектор-функция, определяемая способом построения метода; 
– количество предыдущих точек, которые используются в методе интегрирования.Процедура интегрирования предполагает решение полученной системы конечно-разностных уравнений для фиксированных моментов времени
, начиная с момента 
, для которого определено начальное состояние исследуемой системы 
. Соответственно, решение получается в виде совокупности значений 
для заданных моментов времени.В теории численных методов разработано большое число различных методов интегрирования, каждому из которых соответствует своя система конечно- разностных уравнений.
Общее представление о них можно получить, разделив их на группы, например, на основе следующей классификации:
- методы явные и неявные;
- методы одношаговые и многошаговые;
- методы первого, второго и т.д. порядков;
- методы с постоянным шагом и методы с автоматическим выбором шага.
3.2.1. Свойства методов численного интегрирования
Основными требованиями, предъявляемыми к численным методам, являются достаточная точность и устойчивость. Дополнительными – универсальность, алгоритмическая надежность, умеренные затраты машинного времени и оперативной памяти ЭВМ [29]. При этом, следует учитывать, что практически все эти характеристики имеют смысл только применительно к конкретному объекту исследования. Поэтому выбор подходящего метода интегрирования может иметь очень важное значение с точки зрения эффективности исследования.
Анализ процесса функционирования технического объекта численными методами всегда сопровождается ошибками в определении характеристик и параметров моделируемого процесса. Эти ошибки обусловлены многими причинами: неадекватностью модели, приближенностью исходных данных, свойствами используемого метода интегрирования. Первые из этих факторов возникают на этапе получения исходной модели. Последние – зависят от выбранного метода численного интегрирования.
Точность метода можно оценить, проанализировав полную ошибку на каждом шаге интегрирования, однако задача это достаточно сложная, так как предполагает наличие точного решения задачи.
Полная ошибка интегрирования на
-ом шаге включает следую-щие составляющие:- Ошибка дискретизации
, обусловленная заменой производных конечными разностями;- Ошибка вычислений
, связанная с округлением чисел при вычислениях;- Ошибка накопления
, возникающая в следствии ошибок на предыдущих шагах интегрирования.Ошибка накопления на
-ом шаге равна полной ошибке на предыдущем шаге. Ее оценка связана с исследованием устойчивости численного метода. Если метод устойчив, то существенно не возрастает и общую ошибку интегрирования можно связать в основном с .