Явные формулы метода Эйлера имеют вид
Неявные формулы запишутся следующим образом
Для перехода к матричной записи выполним ряд преобразований:
Здесь
,
Матричная запись имеет вид
Формулу (3.7), вообще говоря, необходимо применять итерационно. Решение этого уравнения, найденное для заданного начального приближения
, следует использовать в качестве очередного приближения в (3.7) и повторять формирование и решение линейного алгебраического уравнения до тех пор, пока два последовательных приближения не станут близкими с заданной точностью. При численном моделировании можно ограничиться только одной итерацией, выбирая достаточно малый шаг интегрирования и учитывая, что при этом значения переменных на предыдущем шаге являются достаточно хорошим приближением.3.2.3. Выбор между явными и неявными методами в процедурах моделирования мехатронных систем
Выбор между явными и неявными методами представляет серьезную проблему. Многие специалисты считают неявные методы более мощным и универсальным инструментом для решения задач моделирования технических систем [23,15]. Следует, однако, заметить, что лишь недавно появились достаточно мощные и универсальные системы автоматизированного моделирования, такие, как, например, MATLAB или МВТУ [17], допускающие выбор явного или неявного метода решения задачи. Раньше использовались либо явные, либо неявные методы, так как это требовало разных компонентных моделей.
В современных перспективных системах автоматизированного моделирования, пригодных для моделирования мехатронных систем, применяются, как правило, неявные методы численного интегрирования. Неявные методы лучше приспособлены для решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений, к тому же они более устойчивы. В результате, несмотря на большие затраты машинного времени на каждом шаге интегрирования, связанные с необходимостью решения СЛАУ, общие затраты могут быть значительно меньше за счет увеличения шага интегрирования и уменьшения общего количества шагов.
Рассмотрим эту особенность неявных методов на примере явного и неявного методов Эйлера [21], определяемых формулами (3.3) и (3.4), соответственно.
Применим указанные формулы для численного интегрирования простейшего линейного дифференциального уравнения
.Характеристическое уравнение данной динамической системы имеет вид
, или , где – постоянная времени системы.Единственный полюс системы находится в левой полуплоскости, следовательно, исходная система устойчива. Соответственно, любое решение уравнения, при
, стремится к нулю.Разностное уравнение, соответствующее численному решению явным методом Эйлера, запишется как
.Известно, что условием устойчивости полученного разностного уравнения является
или .Это означает, что выбор
может качественно изменить вид решения, превратив устойчивый процесс в неустойчивый.Таким образом, на шаг интегрирования наложено очевидное ограничение – он не может быть больше постоянной времени системы, иначе дискретная аппроксимация станет неустойчивой. Если система имеет несколько постоянных времени, то подобное ограничение связывает шаг интегрирования с самой маленькой постоянной времени.
Переход к методам более высокого порядка мало меняет картину. Для метода Рунге-Кутты 4-го порядка требование устойчивости ограничивает шаг величиной
, или, в более общем виде, , где – максимальное собственное значение матрицы Якоби [29].Применение неявного метода Эйлера к той же системе дает
,где ограничение на величину шага выглядит по другому:
,что позволяет выбрать шаг любой величины, ориентируясь только на требуемый уровень погрешности.
3.2.4. Многошаговые методы интегрирования
До сих пор мы имели дело с методами, зависящими только от
и не использующими никаких предыдущих значений переменной. Такие методы называются одношаговыми и могут быть представлены в общем виде как
с соответствующей функцией
. Представляется вполне вероятным, что можно добиться большей точности, если использовать информацию о нескольких предыдущих точках Именно так поступают в многошаговых методах.Вернемся к задаче Коши
и рассмотрим лишь один большой и важный класс многошаговых методов, который возникает на основе следующего подхода. Если подставить в приведенное дифференциальное уравнение точное решение
и проинтегрировать на отрезке , то получим,
где в последнем выражении предполагается, что
- полином, аппроксимирующий . Чтобы построить этот полином, предположим, как обычно, что – приближения к решению в точках и узлы расположены равномерно с шагом . Таким образом, - полином степени , удовлетворяющий условиям Этот полином можно явно проинтегрировать, что ведет к методу.
Для
, полином есть константа, равная , и мы получаем обычный метод Эйлера. Если , то – линейная функция, проходящая через точки и , т.е.
Интегрируя ее от
до , получаем следующее выражение:, (3.10)
которое соответствует двухшаговому методу интегрирования, поскольку использует информацию в двух предыдущих точках. Аналогично, если
, то является квадратичным полиномом, а соответствующий трехшаговый метод имеет вид. (3.11)
Методы, соответствующие формулам (3.10) и (3.11) называются методами Адамса-Бишфорта.
Процесс можно продолжить, используя интерполяционный полином все более высокого порядка. При этом получаются все более громоздкие формулы, но принцип остается тот же.