А. В. Воронин (стр. 9 из 29)

Менее очевидные эквивалентные преобразования, показанные в пятой и шестой строках таблицы, заменяют четырехугольник из 0-узлов и 1-узлов на два узла, заметно упрощая граф. В таблице показано только два варианта направления связей четырехугольника из многих, для которых такое преобразование имеет место.

Последние две строки таблицы демонстрируют изменение направ-ления связей, которое может производиться одновременно для всех связей узла. Это свойство можно обобщить и на другие, более сложные структуры графа. Все указанные в табл. 2.2 эквивалентные преобразования легко доказываются с использованием уравнений (2.15) – (2.19).

Следует отметить, что направление любой связи в графе, кроме односвязных элементов и трансформаторов, может быть изменено на противоположное. Такое преобразование не является эквивалентным, но допустимо, так как соответствующее изменение знаков некоторых потоков и усилий бывает обычно безразличным.

Одно из важных эквивалентных преобразований, не приведенное в табл. 2.2, справедливо только для ГС электрических цепей. Оно состоит в исключении из графа одного из 0-узлов вместе со всеми его связями и объясняется линейной зависимостью уравнений суммирования потоков, записанных для всех 0-узлов. Это свойство следует из особенности электрических цепей, при расчетах которых тоже не записывается закон Кирхгофа для одного из узлов схемы.

Применим рассмотренные преобразования к графу, построенному на рис. 2.7,b.

Во–первых, исключим нижний 0-узел из графа. Оставшаяся его часть показана на рис. 2.8,а. Теперь в получившемся графе можно преобразовать ”четырехугольник”, а после этого исключить лишние 1-узлы в связях элементов

. Результат преобразований приведен на рис. 2.8,b.

Рис. 2.8. Эквивалентные преобразования графа связей

Тот же результат может быть получен проще, если в исходном графе исключить другой 0-узел, а точнее – сразу два связанных 0-узла, разорвав, таким образом, одновременно два четырехугольника графа. В оставшемся графе (рис. 2.9) теперь достаточно изменить направление всех связей нижнего 0-узла и исключить лишние 1-узлы.

Рис. 2.9. Другой вариант эквивалентных преобразований

Несмотря на значительные “потери” в количестве связей, граф, полученный на рис. 2.8,b, полностью отражает все свойства исходной электрической схемы. Весьма интересное свойство ГС состоит в том, что каждый 0-узел соединяет графы параллельных частей схемы, а каждый 1-узел связывает модели последовательных участков. Поэтому 0–узел можно назвать узлом параллельного соединения, а 1-узел – узлом последовательного соединения. Для иллюстрации этого свойства на рис. 2.8,b штриховой линией обведены три части графа, связанные 0-узлом. Нетрудно убедиться в том, что этим частям в схеме действительно соответствуют параллельные цепи. Каждый 0-узел и 1-узел позволяет увидеть свой вариант топологии схемы.

Отмеченные интересные свойства узлов графа позволяют значительно сократить процедуру построения ГС электрических цепей. Во многих случаях, когда схема может быть представлена параллельно и последовательно соединенными компонентами, граф связей в конечном виде может быть построен сразу, без промежуточных этапов.

2.5. Моделирование механических систем на графах связей

При моделировании механических систем естественно интерпретировать усилие

как силу

в поступательном движении или момент силы

во вращательном движении, а поток

– как скорость (линей-ную

или угловую

. Тогда уравнение инерционности представляет собой не что иное, как второй закон Ньютона

, (2.21)

где

– масса поступательно движущегося тела, или

, (2.22)

где

– момент инерции тела.

Узел общего потока (1-узел) идеально подходит для того, чтобы отобразить принцип Даламбера: равенство нулю суммы всех внешних сил и силы инерции (рис. 2.10). Этот граф является, в сущности, моделью динамики тела с массой

под действием суммы сил, которые могут быть как активными внешними силами, так и реакциями связей с другими телами механической системы.

Рис. 2.10. Графическая интерпретация принципа Даламбера

Одновременно 1-узел можно использовать в качестве узла жесткого соединения твердых тел, при котором они, по существу, становится единым телом.

Действительно, 1-узел – это узел общего потока, что в принятой терминологии соответствует общей (равной) скорости для всех связей 1–узла, а равенство скоростей означает движение двух тел как единого целого. Два эквивалентных графа на рис. 2.11 иллюстрирует такую связь твердых тел с массами

Рис. 2.11. Жесткое соединение тел

Отметим, что граф, приведенный на рис. 2.11,а, наглядно демон-стрирует также третий закон Ньютона о том, что действие равно противодействию. Действительно, сила

действует на оба тела, но с противо-положным знаком.

В противоположность 1-узлу узел общего усилия (0-узел) можно считать узлом свободного соединения твердых тел. На рис. 2.12 показано, что соединение двух тел через 0-узел позволяет каждому телу иметь свою скорость (

соответственно). При этом третья связь 0-узла характеризует относительное движение тел:

. (2.23)

Поэтому 0-узел можно использовать при моделировании упругих связей и трения, которые появляются лишь при наличии относительного движения двух тел.

Рис. 2.12. Подвижное соединение тел

Рассмотрим физический смысл других элементов ГС, которые при моделировании механических систем связываются с 0-узлом.

Уравнение емкости для поступательного движения приобретает вид:

. (2.24)

Если его проинтегрировать, то можно получить привычную форму записи закона Гука

, (2.25)

где

– жесткость пружины;

– податливость, т.е. величина, обратная жесткости;

– деформация пружины.

Учитывая свойства 0-узла, пружину можно представить графом, приведенным на рис. 2.13,а.

Рис. 2.13. Подвижное соединение твердых тел: a – идеальная пружина, b – источник механической энергии, c – демпфер, d – пружина с внутренним трением

Как уже отмечалось выше, 0-узел необходим и для моделирования трения между двумя движущимся относительно друг друга твердыми телами (рис.2.13,b). Уравнение элемента потерь при вязком трении может иметь вид

, (2.26)

где

– коэффициент вязкого трения.