Тема дискретизация сигналов все вещи таковы, каков дух того, кто ими владеет. Если он умеет ими пользоваться, они хороши. Если не умеет плохи (стр. 5 из 7)
Дискретизация усеченных сигналов. При выполнении условия (7.2.5) для сигналов с ограниченным спектром аналоговая форма сигнала может быть восстановлена по дискретным отсчетам, если сигнал на интервале Т его задания является финитным или, по крайней мере, настолько быстро затухающим, что отсчеты сигнала за пределами интервала Т практически равны нулю. Задача дискретизации усложняется для медленно затухающих сигналов, сигналов бесконечной длительности и сигналов со спектром, неограниченным по частоте. Последнее имеет место, если в сигнале присутствуют разрывы и резкие скачки.
В общем случае, длительность сигнала и ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными интервалами. Если длительность сигнала ограничена и сигнал урезан в области не нулевых значений, то спектр сигнала неограничен и наоборот. Однако обработка реальных сигналов возможна только с их ограничением, как по координатам, так и по ширине спектра. При этом в качестве оценки корректности ограничения сигналов используется энергетический критерий, согласно которому длительность сигнала Т и практическую ширину спектра W устанавливают такими, чтобы в них была сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Это достигается при выполнении условий:
|s(t)|2 dt = k 
|s(t)|2 dt, (7.2.17) 
|S(w)|2 dw = k 
|S(w)|2 dw, (7.2.17')где k- коэффициент представительности (качества) задания сигнала, значение которого, в зависимости от целевых задач обработки сигналов, может устанавливаться от 0,9 до 0,99.
Допустим, что произвольный сигнал s(t) рассматривается в пределах конечного интервала [0, Т] и принимается равным нулю за его пределами. Такой сигнал может быть получен умножением сигнала s(t) на прямоугольную весовую функцию ПT(t):
sT(t) = s(t) ПT(t).
Для спектра ST(f) функции sT(f) соответственно имеем:
ST(f) = S(f) * Т×sinc(pfT). (7.2.18)
Спектр ST(f) неограничен, поскольку неограничен носитель функции sinc(pfT). Отсюда следует, что частота дискретизации функции sT(t) в принципе должна быть бесконечно большой, т.е. корректная дискретизация невозможна. На практике полагают, что спектр ST(f) также определен в конечной области [-W,W]:
S'T(f) = ST(f)×П2W(f),
при этом вне этой области, по оценке Шеннона, для спектра ST(f) справедлива формула:
|ST(f)| » 1/WТ, f Ï (-W,W). (7.2.19)
Но усеченная часть спектра определяет разность значений между исходной функцией sТ(t) и функцией s'Т(t), восстановленной по усеченному спектру S'T(f), т.к. отсеченных гармоник спектра будет недоставать для полного восстановления функции sT(f):
eT(t) = sT(t) – s'T(t).
Соответственно, оценка дисперсии погрешности аппроксимации определяется выражением:
s2 =
e2T(t) » 1/WТ, s » 1/ 
. (7.2.20)  Рис. 7.2.12. Вид функции погрешности аппроксимации |
Эти выражения определяют порядок среднеквадратической погрешности аппроксимации, которая является интегральной по интервалу Т, а не локальной разностью значений sT(t)–s'T(t). Типичный вид погрешности аппроксимации усеченных сигналов приведен на рис. 7.2.12. В точках дискретизации погрешность равна нулю, максимальна на центрах интервалов дискретизации и нарастает при приближении к границам интервала Т.
Физические данные обычно регистрируются по определенным интервалам Т и, как правило, не выходят на нулевые значения на границах интервалов. В этом случае ограничение ширины спектра можно проводить по (7.2.20) с учетом допустимой среднеквадратической погрешности аппроксимации данных. Частота W при усечении спектра может рассматриваться в качестве частоты Найквиста для сигнала sT(t) при его дискретизации, что определяет частоту дискретизации не менее F = 2W и количество точек дискретизации не менее N=TF=2WT.
В силу тождественности свойств прямого и обратного преобразования Фурье аналогичная методика может применяться и для оценки условий дискретизации спектров.
Таким образом, дискретизация усеченных сигналов возможна, однако при обработке усеченных сигналов необходимо проявлять осторожность и контролировать как значение среднеквадратической ошибки искажений, так и характер возникающих искажений сигнала и его спектра. Так, например, при усечении функции автокорреляции в спектре мощности сигнала могут появиться отрицательные значения, т.к. функция отсчетов sinc(pfT) в (7.2.18) является знакопеременной. Другой пример - проектирование частотных полосовых фильтров. При задании передаточной функции фильтра H(f) в частотной области в виде П-образной функции H(f) = Пr(f) обратное преобразование Фурье дает импульсный отклик фильтра h(t) Û H(f) бесконечно большой длины. Усечение отклика hT(t) = h(t)ПT(t) вызывает изменение передаточной функции фильтра (явление Гиббса): HT(f) = Пr(f) * ПT(f) Þ Пr(f)×Т× sinc(pfT), при этом по краям скачков П-функции появляются затухающие флюктуации с амплитудой первого выброса до 9% от значений коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания.
Так как частотный характер искажений, возникающих при усечении сигнала, определяется весовой функцией ПT(t) Û Т×sinc(pfT), то допустимый уровень и форму искажения сигнала можно устанавливать не только подбором интервала Т, но и применением других весовых функций. Так, для исключения появления отрицательных значений в спектрах мощности усечение функций автокорреляции целесообразно выполнять весовыми функциями, которые не имеют отрицательных значений в своих спектрах. Одной из таких функций является, например, треугольная весовая функция (окно Бартлетта).
Соотношение спектров одиночного и периодического сигналов. Спектр ST(f) = S(kDf) периодического сигнала sT(t) с периодом Т дискретен (Df = 1/T). Спектр S(f) одиночного сигнала s(t), заданного на интервале Т, непрерывен и представляет собой спектральную плотность сигнала при T Þ ¥. Но периодический сигнал можно представить и в виде свертки одного периода с гребневой функцией Дирака:
sT(t) = s(t) * ШT(t).
При переходе в частотную область получаем:
ST(f) = (1/T)×S(f)×Ш1/T(f) = S(kDf),
ST(f) = (1/T)
S(f)d(f-k/T). (7.2.21)Отсюда следует, что спектр периодического сигнала представляет собой дискретизированный спектр одиночного сигнала, нормированный на длительность периода.
С другой стороны, одиночный сигнал s(t) может быть получен из периодического сигнала sT(t) умножением на селектирующий прямоугольный импульс ПT(t):
s(t) = sT(t)×ПT(t).
Спектр одиночного сигнала:
S(f) = T×ST(f) * ПT(f) = Т
S(kDf)×sinc[pT(f-k/T)], (7.2.22)т.е. непрерывный спектр одиночного сигнала однозначно устанавливается по спектру периодического сигнала (интерполяция рядом Котельникова-Шеннона в частотной области).
7.3. Дискретизация по критерию наибольшего отклонения [10].
Задача абсолютно точного восстановления сигнала на практике обычно не ставится, в отличие от задачи минимального физического объема информации, при котором сохраняется возможность ее восстановления в непрерывной форме с определенным допустимым значением погрешности. Такая задача актуальна всегда, и особенно при дистанционных методах регистрации и обработки информации, передаче сигналов по каналам связи и при подготовке информации к длительному хранению. Одним из методов решения этой задачи является дискретизация сигналов по критерию наибольшего отклонения.
В процессе дискретизации по критерию наибольшего отклонения задается допустимое значение погрешности восстановления сигнала s. При восстановлении сигнала непрерывная функция s(t) аппроксимируется, как правило, степенными полиномами n-го порядка. Погрешность восстановления функции s(t) полиномом sa(t) определяется остаточным членом L(t):
L(t) = s(t) - sa(t) = s(t).
Шаг дискретизации выбирается из условия обеспечения L(t) < s по всему интервалу определения функции s(t). Как правило, динамика функции s(t) может существенно изменяться в различные моменты времени по интервалу регистрации, при этом шаг дискретизации также может изменяться, при условии не превышения заданной погрешности на каждом шаге. При установленном значении s уменьшение числа отсчетов обеспечивается повышением степени аппроксимирующего многочлена. На практике обычно ограничиваются ступенчатой, линейной и параболической аппроксимацией полиномами соответственно нулевой, первой и второй степеней.