__
Xjc – X ;
__
(Xjc – X)2;
14,55-19,71= - 5,16
17,55-19,71= - 2,16
20,55-19,71=0,84
23,55-19,71=3,84
26,55-19,71=6,84;
(14,55-19,71) 2=26,63
(17,55-19,71) 2=4,67
(20,55-19,71) 2=0,71
(23,55-19,71) 2=14,75
(26,55-19,71) 2=46,79
10). __
(Xjc – X)2*nj;
(14,55-19,71) 2*11=292,93
(17,55-19,71) 2*26=121,42
(20,55-19,71) 2*47=33,37
(23,55-19,71) 2*12=177,00
(26,55-19,71) 2*4=187,16
11). Вычисление дисперсии и среднего квадратического отклонения:
m
∑ __
Дx = I=1 (Xjc – X)2*nj ;
n-1
Дx = 292,93+121,42+33,37+177+187,16= 8,20 ;
99
Среднее квадратическое отклонение:
Sx =√ Дx ;
Sx =√8,20=2,86 ;
Полученые оценки математического ожидания и СКО являются случайными. Рассеяние математического ожидания оцениваются с помощью среднего квадратического отклонения среднего арифметического:
Sx = Sx / √n ;
Sx =2,86 / √100=0,286
| J | Границы разрядов | Xjc | nj | Xjc*nj | Xjc-X | (Xjc – X)2 | (Xjc – X)2*nj | |
| Xj | Xj+1 | |||||||
| 1 | 13,05 | 16,05 | 14,55 | 11 | 160,05 | -5,16 | 26,63 | 292,93 |
| 2 | 16,05 | 19,05 | 17,55 | 26 | 456,30 | -2,16 | 4,67 | 121,42 |
| 3 | 19,05 | 22,05 | 20,55 | 47 | 965,85 | 0,84 | 0,71 | 33,37 |
| 4 | 22,05 | 25,05 | 23,55 | 12 | 282,60 | 3,84 | 14,75 | 177,00 |
| 5 | 25,05 | 28,05 | 26,55 | 4 | 106,20 | 6,84 | 46,79 | 187,16 |
ПОСТРОЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГРАФИКОВ.
Смотри приложение 1.
По виду построенной зависимости выдвигаем гипотезу о нормальном распределении.
II. Часть.
Проверка гипотезы о принятом законе распределения.
Для проверки закона распределения используют статистические характеристики, вычисленные в первом разделе в качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения используют критерии согласия, наибольшее значение получил критерий Пирсона χ2 . Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов построенные на основе распределения.
Этот метод можно использовать при n>50, у нас n=100.
q
χ2 =Σ (nj – npj)2
j=1 npj
где:
nj и npj – соответственно экспериментальное и теоретическое значение частот в j-ом интервале разбиения.
При n→∞ случайная величена χ2имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы «К»; K= q – 1 – r;
r – число определяемое по статистике параметров необходимых для совмещения моделей и частотограммы. Для нормального закона распределения r=2.
Методика определения соответствия экспериментального и принятого закона состоит в следующем:
1). Определение: X, Sx , Sx
__
X=19,71; Sx = 2,86; Sx = 0,286.
2). Группирование по разрядам ∆X (частотограмма).
∆1 = (XMIN; X1+∆X)
∆2 = (X1+∆X; X1+2∆X)
∆3 = (X1+2∆X; X1+3∆X)
∆n = (Xn+∆X; XMAX)
∆1 = (13,05; 16,05)
∆2 = (16,05; 19,05)
∆3 = (19,05; 22,05)
∆4 = (22,05; 25,05)
∆5 = (25,05; 28,05)
3). Подсчитываем для каждого разряда разбиения его середину Xjc и npj- число наблюдений теоретически соответствующие выбранной модели;
3.1). Xjc→tj то есть вычисляется аргумент дифференциальной функции нормированного распределения для каждого интервала.
__
tj = (Xjc – X) / Sx ;
tj1=(14,55-19,71) / 2,86= -1,80
tj2=(17,55-19,71) / 2,86= - 0,76
tj3=(20,55-19,71) / 2,86=0,29
tj4=(23,55-19,71) / 2,86=1,34
tj5=(26,55-19,71) / 2,86=2,39;
3.2). По значению аргумента из таблицы находят значение функции плотности вероятности P(tj):
P(tj)1 = 0,0790
P(tj)2 = 0,2989
P(tj)3 = 0,3825
P(tj)4 = 0,1626
P(tj)5 = 0,0229
3.3). Рассчитываем плотность вероятности физической величены в единицах этой величены.
P(xj) = P(tj) / Sx ;
P(xj)1 = 0,0790 / 2.86= 0,03
P(xj)2 = 0,2989 / 2.86= 0,10
P(xj)3 = 0,3825 / 2.86=0,13
P(xj)4 = 0,1626 / 2.86=0,06
P(xj)5 = 0,0229 / 2.86=0,01
3.4). Рассчитываем теоретически частоты в каждом интервале.
npj = n*∆x* P(xj);
npj1 =100*3.00*0,03=9
npj2 =100*3.00*0,10=30
npj3 =100*3.00*0,13=39
npj4 =100*3.00*0,06=18
npj5 =100*3.00*0,01=3
Если в какой-либо интервал попало меньше 5-и наблюдений, то в обеих гистограммах его соединяют с соседним интервалом.
После этого определяют число степеней свободы:
K= q – 1 – r - m;
m- число укрупнений.
K=5-1-2-1=1
| J | Xjc | nj | Xjc-X | tj | P(tj) | P(xj) | npj | χ2j |
| 1 | 14,55 | 11 | -5,16 | -1,80 | 0,0790 | 0,03 | 9 | 0,44 |
| 2 | 17,55 | 26 | -2,16 | -0,76 | 0,2989 | 0,10 | 30 | 0,53 |
| 3 | 20,55 | 47 | 0,84 | 0,29 | 0,3825 | 0,13 | 39 | 1,64 |
| 4 | 23,55 | 16 | 3,84 | 1,34 | 0,1626 | 0,06 | 21 | 1,19 |
| 5 | 26,55 | 6,84 | 2,39 | 0,0229 | 0,01 |
4). Вычисление значения χ2по формуле.
q
χ2 =Σ (nj – npj)2 ;
j=1 npj
χ2 = (11-9)2+(26-30)2+(47-39)2+(16-21)2 = 109=1,10
99 99
5). По заданному уровню значимости α=0,1 и числу степеней свободы «К», находят граничные значения
χ2н (нижняя), χ2в(верхняя)
χ2н(K, α / 2=0,05)= а
χ2в(K, 1- α /2=0,95)= в
χ2н (1+0,05)=0,00393
χ2в(1+0,95)=3,841
6). Сравниваем расчётные значения
χ2н<χ2 ≤χ2в
0,004 < 1,10 < 3,84
Так как неравенство выполнятся, то гипотеза принимается.
ІІІ. Часть.
Проверка гипотезы о принадлежности выборки к генеральной совокупности по критерию согласия Колмогорова.
Согласно его критерию сравнивают эмпирические и теоретические значения интегральной функции распределения. Мерой расхождения между гипотезой и эмпирической функцией распределения является разность между эмпирической и гипотетической функциями распределения.
H=max | F̃(x)-F(x) |
Академик Колмогоров в 1933 г. доказал что, если функция F(x) не прирывна, то функция распределения величены λ равна произведению абсолютной величены наибольшей разности между соответствующими значениями эмпирической и теоретической функциями распределения непрерывной случайной величены X на корень квадратный из числа наблюдений.
λ = max | F̃(x)-F(x) |*√n;
при n→∞ функция распределения λ имеет пределом функцию:
| +∞ K(λ) = ∑ (-1)ke-2*k²*λ² K=-∞ | - Функция Колмогорова |
Из определений предела и функций распределения случайной величены получаем, что при достаточно большом n и n>0 и вероятность того что:
P (H* √n< λ) ≈ K(λ)
Применение для проверки гипотезы о законе распределения случайной величены, сводится к нахождению величены «Н» и к нахождению величены λ
λ =H*√n
Ламбда задаётся для заданного уровня значимости α. Так как α=0,1 следовательно λα =1,22
Критерий Колмогорова применим в том случае,если известен не только вид функции, но и её параметры mx и Sx
__
mx = X
Определяя, принадлежит ли заданная выборочная совокупность к генеральной совокупности с параметрами mx и Sx на уровне значимости α:
1). Строим ранжированный ряд:
| 13,05 | 17,68 | 19,20 | 20,26 | 21,62 |
| 14,12 | 17,76 | 19,21 | 20,27 | 21,73 |
| 14,43 | 18,00 | 19,28 | 20,27 | 21,81 |
| 14,74 | 18,02 | 19,31 | 20,30 | 21,95 |
| 15,12 | 18,03 | 19,51 | 20,30 | 22,48 |
| 15,14 | 18,04 | 19,57 | 20,34 | 22,52 |
| 15,62 | 18,04 | 19,64 | 20,35 | 22,62 |
| 15,97 | 18,14 | 19,74 | 20,35 | 22,76 |
| 16,01 | 18,26 | 19,84 | 20,51 | 22,76 |
| 16,01 | 18,59 | 19,92 | 20,54 | 23,16 |
| 16,02 | 18,68 | 19,95 | 20,60 | 23,26 |
| 16,07 | 18,68 | 19,97 | 20,80 | 23,60 |
| 16,81 | 18,70 | 19,98 | 20,92 | 23,85 |
| 16,96 | 18,70 | 19,98 | 20,97 | 23,87 |
| 17,05 | 18,72 | 20,00 | 20,99 | 23,93 |
| 17,18 | 18,80 | 20,01 | 21,06 | 24,80 |
| 17,22 | 19,03 | 20,01 | 21,23 | 25,57 |
| 17,41 | 19,07 | 20,06 | 21,26 | 25,61 |
| 17,48 | 19,12 | 20,07 | 21,48 | 26,83 |
| 17,49 | 19,17 | 20,20 | 21,61 | 28,04 |
2). Размах R: