28. Проводятся последовательные испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9. X – число испытанных приборов.
29. Бросают две игральные кости. X – остаток от деления суммы выпавших очков на 4.
30. Нефтеразведывательная компания получила финансирование для проведения 5 нефтеразведок. Вероятность успешной нефтеразведки 0,1. Предположим, что нефтеразведки осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии. X – число успешных нефтеразведок.
31. В карточной игре игрок, который извлекает из колоды карт (52 карты) валет или даму, выигрывает 15 очков; тот, который вытащит короля или козырного туза, выигрывает 5 очков. Игрок, который достанет любую другую карту, проигрывает 4 очка. X – число выигранных очков при одном извлечении.
32. Производятся независимые испытания трех приборов. Вероятность отказа каждого прибора 0,5, 0,25, 0,2 соответственно. X – число отказавших приборов.
33. На пути движения автомобиля 5 светофоров. Каждый из них разрешает дальнейшее движение с вероятностью 0,75 или запрещает с вероятностью 0,25. X – число пройденных автомобилем светофоров до первой остановки.
34. Проводится два независимых опыта, в каждом из которых с равной вероятностью может быть получено любое из чисел 2, 1, 0, -1, -2. X – модуль произведения двух полученных чисел.
35. За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 0,25, выжить с вероятностью 0,25 разделиться на две с вероятностью 0,5. В следующий такой же промежуток времени с каждой амебой независимо от ее «происхождения» происходит то же самое. X – количество амеб к концу второго промежутка времени.
Решить задачу на тему «Дискретная случайная величина»
1. Число телефонных звонков, поступающих в справочное бюро от абонентов между полуднем и часом дня в любой день недели, есть случайная величина X, заданная так:
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 0,3 | 0,2 | P3 | 0,1 | 0,1 | 0,1 |
а) предполагая, что задан закон распределения случайной величины X, найти p3,
б) найти функцию распределения случайной величины X,
в) определить вероятность того, между 12ч 34мин и 12ч 35мин в справочное бюро поступит больше двух звонков.
2. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2, причем x1 < x2. Известны вероятность p1 = 0,9 возможного значения x1, математическое ожидание M[X] = 2,2, дисперсия D[X] = 0,36. Найти:
а) неизвестные x1, x2 и p2,
б) функцию распределения случайной величины.
3. Число ошибок на страницу, которое делает некоторая машинистка, есть случайная величина X, заданная следующим образом:
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| pi | 0,01 | 0,09 | 0,30 | P4 | 0,20 | 0,10 | 0,10 |
а) предполагая, что задан закон распределения случайной величины X, найти p4,
б) найти функцию распределения случайной величины X,
в) определить вероятность того, что ею будет сделано не более 4 ошибок на страницу,
г) определить вероятность того, что машинистка сделает более двух ошибок на страницу.
4. Процент людей, купивших новое средство от головной боли после того, как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:
| xi | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
| pi | 0,10 | P2 | 0,35 | 0,20 | 0,10 | 0,05 |
а) предполагая, что задан закон распределения случайной величины X, найти p2,
б) найти функцию распределения случайной величины X,
в) определить вероятность того, что более 20% людей откликнутся на рекламу.
5. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2, причем x1 < x2. Известны вероятность p1 = 0,8 возможного значения x1, математическое ожидание M[X] = 3,2, дисперсия D[X] = 0,16. Найти:
а) неизвестные x1, x2 и p2,
б) функцию распределения случайной величины.
6. Число продаваемых машин в автомагазине – случайная величина, заданная так:
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,2 | P5 | 0,1 |
а) предполагая, что задан закон распределения случайной величины, найти p5,
б) найти вероятность того, что завтра число проданных автомобилей будет от2 до 4 (включая 2 и 4),
в) составить функцию распределения числа автомобилей, продаваемых ежедневно.
7. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт, - случайная величина X, заданная так:
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | P1 | 0,2 | 0,4 | 0,1 | 0,1 | 0,1 |
а) предполагая, что задан закон распределения случайной величины, найти p1,
б) найти функцию распределения,
в) найти вероятность того, что в заданный день прибудет от1 до 4 грузовых судов (включая 1 и 4),
г) если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы в заданный день?
8. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2, причем x1 < x2. Известны вероятность p1 = 0,6 возможного значения x1, математическое ожидание M[X] = 3,4, дисперсия D[X] = 0,24. Найти:
а) неизвестные x1, x2 и p2,
б) функцию распределения случайной величины.
9. Число яхт, сходящих со стапелей маленькой верфи, - случайная величина, заданная следующим образом:
| xi | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| pi | 0,20 | 0,20 | 0,30 | 0,10 | 0,10 | P6 | 0,05 |
а) предполагая, что задан закон распределения случайной величины, найти p6,
б) чему равна вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет находиться между 4 и 7 (включая 4 и 7)?
в) найти функцию распределения,
г) оценить вероятность того, что число яхт, построенных в течение месяца, будет не более 6.
10. Число дефектов в продукции, производимой автоматом, - случайная величина X, заданная следующим образом:
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,3 | P4 | 0,1 |
а) предполагая, что задан закон распределения случайной величины, найти p4,
б) найти P(1 < X < 3),
в) построить функцию распределения,
г) определить P(1 < X < 4).
11. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2, причем x1 < x2. Известны вероятность p1 = 0,4 возможного значения x1, математическое ожидание M[X] = 3,6, дисперсия D[X] = 0,24. Найти:
а) неизвестные x1, x2 и p2,
б) функцию распределения случайной величины.
12. Доход от некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около 1000 условных денежных единиц с заданным рядом распределения:
| xi | -2000 | -1000 | 0 | 1000 | 2000 | 3000 |
| pi | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,1 |
Замечание: -2000, -1000 означают убыток.
а) какой наиболее вероятный денежный доход рискованного бизнеса?
б) чему равен на длительный период средний доход от этого бизнеса?