-208-
Вся математика, включая арифметику, геометрию и астрономию, есть, по убеждению Кузанца, продукт деятельности рассудка; рассудок как раз и выражает свой основной принцип в виде запрета противоречия, то есть запрета совмещать противоположности. Этот главный закон рассудка, по Кузанцу, составляет фундамент евклидовых «Начал», в которых подытожено развитие греческой математики нескольких веков. «Я как-то попытался доказать, — пишет Николай, — что соизмеримость диаметра и окружности недостижима и недопустима из-за необходимости избегать вышесказанного совпадения (имеется в виду совпадение противоположностей. — П.Г.), и внезапно понял, что в геометрии подлежит утверждению и что отрицанию: как в понятиях души, так и во всех доказательствах Евклида или чьих бы то ни было при разнообразии фигур я обнаружил эту единственную причину всего» (I, 226-227).
Под «понятиями души» Кузанец подразумевает аксиомы Евклида. Согласно Кузанцу, аксиомы, постулаты и определения, так же как и базирующиеся на них доказательства, являются «забором», с помощью которого рассудок оградил свою территорию от тех противоречий, которые могли бы взорвать все возводимое им здание науки. И в самом деле, если проследить историю становления античной математики, связанную с развитием античной философии и логики18, то можно заметить, как некоторые важнейшие аксиомы геометрии возникают из стремления преодолеть те противоречия, которые влечет за собой допущение понятия актуальной бесконечности, и тем самым создать предпосылки для построения непротиворечивой системы знания. Такова, например, аксиома Евдокса, известная также под именем аксиомы Архимеда и составляющая одно из важнейших допущений, без которых была бы невозможна евклидова геометрия. Вот как формулируется аксиома Евдокса в IV определении V книги «Начал»: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга»20. С помощью этой аксиомы Евклид хочет найти возможность устанавливать отношения не только между соизмеримыми, но и между несоизмеримыми отрезками (величинами) и тем самым нейтрализовать те затруднения, которые бы
-209-
ли порождены открытием несоизмеримости. Но, как отмечает Г. Вилейтнер, аксиома Евдокса у Евклида решает и еще одну задачу, а именно: «Евклид хочет лишить права находиться в отношении «бесконечно малые» и «бесконечно большие» образы, как, например, введенные уже древними философами (Демокрит) последние частицы (атомы, неделимые) отрезка или же всю бесконечную прямую»21. Греческим математикам были известны так называемые роговидные углы, то есть углы, образованные окружностью и касательной (или же двумя кривыми). Но криволинейные и прямолинейные углы не находятся между собой ни в каком отношении, — роговидный угол всегда меньше любого прямолинейного угла. Аксиома Евдокса позволяет избежать парадоксов актуально бесконечного, которые были выявлены Зеноном Элейским и вызвали у математиков стремление освободиться от них.
Николай Кузанский вновь возвращает нас к Зенону с его парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в парадоксах орудие разрушения ложного знания, а Кузанец видит в парадоксе — ибо что такое совпадение противоположностей, как не парадокс? — средство созидания истинного знания. Правда, само это знание имеет парадоксальный характер — оно есть «умудренное неведение» (docta ignorantia).
Критикуя тех, кто возводит в высшую норму мышления законы рассудка, Кузанец чаще всего имеет в виду Аристотеля и аристотеликов. Может возникнуть впечатление, что, критикуя рассудочные основания античной математики, Николай Кузанский отвергает Аристотеля и обращается к традиции Платона. В действительности в своей критике оснований античной математики Кузанец оказывается едва ли не дальше от Платона, чем от Аристотеля. И в самом деле:. Платон считал, что среди наук самым точным и достоверным знанием обладает математика, и прежде всего — арифметика, наука о числах. И Платон, и его школа ставили математическое знание выше знания о чувственном мире, которое есть всего только «мнение». В традиции платоновской Академии математика всегда выступала как «органон» философии.
С помощью идеи тождества единого и бесконечного и рассмотрения бесконечного как меры Кузанец пересма
-210-
тривает методологические принципы математической науки. Именно под влиянием Николая Кузанского понятие бесконечного начинает сопрягаться с понятием единицы и у некоторых математиков, например у Галилея, Кавальери и др. Для становления механики и математики XVII века было весьма существенным то уравнение в правах приблизительного и точного знания, которое мы находим у Кузанца, объявившего приблизительным математическое знание, почитавшееся издревле заточное.
Однако переосмысление понятий античной философии и науки не проводится Николаем Кузанским с полной последовательностью. Он то решительно пересматривает положение греческой науки, с одной стороны, и средневековой теологии, — с другой, то вводит целый ряд оговорок и пояснений, отступая от своих радикальных новаций и возвращаясь к более традиционным взглядам. Так, если в «Ученом незнании» (1440) Бог трактуется как «совпадение противоположностей», то в «Предположениях» (1444) сильнее подчеркнута трансцендентность Бога, которого, стало быть, нельзя постигнуть даже как совпадение противоположностей22.
Тезис о бесконечном как мере вносит существенные преобразования также и в астрономию. Если уж геометрия и даже арифметика не могут дать нам точного знания, то что же тогда сказать об астрономии, имеющей дело не с фигурой или числом, а с движением небесных тел, а здесь достичь точного знания (в его античном и средневековом понимании) значительно труднее.
Как раз применительно к астрономии утверждение Николая не является чем-то новым и неожиданным: ни в античности, ни в Средние века никто не утверждал, что астрономия по точности своих вычислений может сравниться с арифметикой. Поскольку астрономия прибегает к измерению и неизбежно имеет дело с измерительными приборами, то ее расчеты принципиально носят приблизительный характер.
Но хотя утверждение Кузанца применительно к астрономии не содержит в себе ничего необычного, тем не менее предпосылки, на которых оно построено, представляют собой нечто новое. Кузанец утверждает, что приблизительность астрономических расчетов в принципе ничем не
-211-
отличается от приблизительности расчетов геометрии и арифметики. Далее из допущения, что мерой конечного должно быть бесконечное, следует еще один вывод. Если в области арифметики и геометрии бесконечное как мера превращает знание о конечных соотношениях в приблизительное, то в астрономию эта новая мера вносит кроме того еще и принцип относительности. И в самом деле: так как точное определение размеров и формы мироздания может быть дано лишь через отнесение его к бесконечности, то в мироздании не могут быть различены центр и окружность. «Из-за необходимого совпадения минимума с максимумом, — пишет Николай, — такой центр мира совпадает с внешней окружностью. Значит, у мира нет и внешней окружности. В самом деле, если бы он имел центр, то имел бы и внешнюю окружность, а тем самым имел бы внутри самого себя свои начало и конец» (I, 131).
Рассуждение Кузанца интересно и в том отношении, что оно помогает понять связь между философской категорией Единого и космологическим представлением древних о наличии центра мира, а тем самым — о его конечности. Отождествление единого с беспредельным, осуществленное Николаем, разрушает ту картину космоса, из которой исходили не только Платон и Аристотель, но и Птолемей и Архимед. Для античной науки и большинства представителей античной философии космос был очень большим, но конечным телом. А признак конечности тела — это возможность различить в нем центр и периферию, «начало» и «конец». Согласно Кузанцу, «подобное далеко от истины. Но если невозможно, чтобы мир был заключен между телесным центром и внешней окружностью, то непостижим этот мир, и центр и окружность которого — Бог, хотя этот мир не бесконечен, однако его нельзя помыслить и конечным, поскольку у него нет пределов, между которыми он был бы замкнут!» (I, 131).
Как видим, Кузанец не без оговорок признает бесконечность мира. Его трактовка этой бесконечности отличается от той, которая имеет место у Дж. Бруно, Б. Спинозы или И. Ньютона. Кузанец различает два вида бесконечного: негативно бесконечное и привативно бесконечное23. Негативная бесконечность Бога — это бесконечность актуальная, — то, что Кузанец в «Ученом незнании» называет сов
-212-
падением абсолютного максимума и абсолютного минимума. Привативная же бесконечность скорее соответствует тому, что мы сегодня называем потенциальной бесконечностью и что в античности предпочитали именовать беспредельным. И в самом деле, вселенная привативно бесконечна, так как, по словам Кузанца, она « не имеет предела». Такого рода потенциально бесконечное — это то, что «всегда может быть актуально больше », но это как раз признак конечности, ибо актуальная бесконечность не может становиться больше или меньше от прибавления к ней или отнятия от нее какой бы то ни было конечной величины.
Итак, вселенная потенциально бесконечна, а это значит, что у нее нет ни центра, ни окружности. Ибо центр и окружность — границы, а бесконечность, пусть даже и привативная, не может иметь никаких границ. Но из этого следует вывод, очень важный для дальнейшего развития не только философии, но и астрономии и физики; «Центр мира не более внутри Земли, чем вне ее» (I, 132). Бог, по Кузанцу, есть абсолютный центр мира и он же — абсолютная окружность его. А Земля не есть центр, и потому ничем принципиально не отличается от других небесных тел.
Эти утверждения Кузанца противоречат предпосылкам аристотелевской физики, исходившей из принципиального различия подлунного и надлунного мира. Кузанец, таким образом, подготовляет коперниканскую революцию в астрономии.