Это — первая лемма книги «Начал». Анализируя математические работы Ньютона, в частности его «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», Д.Д. Мордухай-Болтовской замечает, что Ньютон стоял как бы на перепутье — между созданным им методом флюксий и возникшим позднее у Даламбера понятием предела; однако создать теорию предела Ньютону не удалось32, хотя само понятие «предела» и появляется у Ньютона в « Началах ».
Мы не можем сколько-нибудь подробно останавливаться на методе флюксий Ньютона: для нашей цели достаточно показать, что Ньютон искал способа избежать понятия бесконечно малой величины, т. е. актуально бесконечного, и его метод первых и последних отношений есть попытка приблизиться к методу исчерпывания древних, вполне строгому и строящемуся на признании лишь потенциальной бесконечности33.
Аналогичные затруднения с понятием бесконечно малого испытывал Лейбниц, чье отношение к принципу непре
-275-
рывности весьма показательно для научно-философской мысли XVII-XVIII вв. На теории бесконечно малых Лейбница мы остановимся подробнее, поскольку немецкий ученый не только разработал метод дифференциального исчисления, но и многократно обсуждал те трудности, которые связаны с его обоснованием.
Позиция Лейбница в вопросе о бесконечно малых столь же непоследовательна, как и позиция его предшественника Галилея: как и Галилей, Лейбниц, с одной стороны, оперирует этим понятием и сам разрабатывает метод математического анализа, а, с другой, он вполне разделяет критическое отношение других математиков и особенно философов к этому понятию-парадоксу. Такая двойственная позиция у Лейбница в сущности сохраняется на протяжении всей его жизни. В этом отношении показательно письмо Лейбница к Фуше от января 1692 г. Фуше в письме к Лейбницу доказывал невозможность оперирования с неделимыми в математике и настаивал на необходимости признать принцип непрерывности в его аристотелевской формулировке. Отвечая Фуше, Лейбниц пишет: «Вы правы, говоря, что коль скоро все величины могут делиться до бесконечности, не существует такой величины, сколь угодно малой, которая в свою очередь не могла бы быть разделена на еще меньшие части, число которых бесконечно»34. Однако, признав бесконечную делимость любой величины, Лейбниц тут же добавляет: «Впрочем, я не нахожу ничего дурного и в предположении, что эта делимость может быть в конце концов исчерпана, хотя и не вижу в этом никакой нужды»36. Это замечание стоит в прямом противоречии с признанным только что принципом непрерывности: в самом деле, если делимость может быть исчерпана, значит, могут быть получены последние неделимые элементы, — а это означает, что величины не будут делимы до бесконечности. И тут делу не может помочь оговорка Лейбница: « хотя и не вижу в этом никакой нужды».
Точно так же «вибрирует» мысль Лейбница в вопросе о бесконечном в его «Новых опытах о человеческом разумении», написанных в 1703-1704 гг. С одной стороны, Лейбниц признает, что в математике нельзя оперировать с понятием актуальной бесконечности. «Не существует бесконечного числа, или бесконечной линии, или какого-
-276-
нибудь другого бесконечного количества, если брать их как настоящие целые... Истинная бесконечность... заключается лишь в абсолютном, которое предшествует всякому соединению и не образовано путем прибавления частей»36. В данном случае речь идет о невозможности актуально существующей бесконечно большой величины. Однако и по отношению к актуально существующей бесконечно малой величине Лейбниц здесь высказывается тоже однозначно: «Мы заблуждаемся, пытаясь вообразить себе абсолютное пространство, которое было бы бесконечным целым, составленным из частей. Ничего подобного не существует. Такое понятие внутренне противоречиво, и все эти бесконечные целые, равно как и их антиподы, бесконечно малые, применимы лишь для математических выкладок, подобно мнимым корням в алгебре»37. Однако, с другой стороны, Лейбниц в той же работе признает актуально бесконечное множество восприятий, имеющихся в нас в каждый момент, но не сознаваемых нами38, а также актуально бесконечное множество субстанций-монад, или, как он их называет, «метафизических точек». Таким образом, причина «вибрации» Лейбница — в невозможности признать актуальную бесконечность в математике и в то же время в невозможности отвергнуть актуальную бесконечность в физике и метафизике; последние имеют дело с реально сущим, с бытием, тогда как математика — лишь с возможным, конструкцией воображения.
Вот что в этой связи пишет Лейбниц Фуше в 1693 г.: «Я настолько убежден в существовании актуальной бесконечности, что не только не допускаю мысли о том, что природа не терпит бесконечного.., а, напротив, считаю, что она повсюду выказывает любовь к нему, дабы тем нагляднее продемонстрировать совершенство Творца. Итак, я полагаю, что нет ни одной части материи, которая была бы не скажу только неделимой, но даже не разделенной актуально и, следовательно, любая мельчайшая частица материи должна рассматриваться как мир, наполненный бесчисленным количеством разнообразных созданий»39.
Возражая Декарту и его последователям, не допускавшим возможности для конечного существа мыслить актуально бесконечное, Лейбниц в письме к Мальбраншу замечает: «Ответ, что наш ум, будучи конечным, не понимает
-277-
бесконечного, неправилен, так как мы можем доказать и то, чего мы не понимаем»40.
Не правда ли, эта мысль Лейбница в точности повторяет высказанную Кавальери: хотя бы мы не понимали сущности тех приемов, которыми мы пользуемся, мы тем не менее можем получать с их помощью нужное решение задачи; именно так, справедливо говорит Кавальери, поступают алгебраисты, и математический анализ по своему методу сходен с алгеброй, оперирующей с непостижимыми корнями чисел. Это — целый переворот по сравнению с античной математикой, переворот, основанный на сближении техники вычисления (логистики) и точной науки, приближенного метода вычисления (так понимал метод бесконечно малых Кеплер) и строго математического доказательства.
Лейбниц, таким образом, допускает актуально бесконечное в тварном мире, а не только в Боге; то, что делимо до бесконечности, должно быть уже актуально разделено на бесконечное число бесконечно малых единиц, ибо, согласно Лейбницу, возможное должно иметь свое основание в действительном, потенциальное — в актуальном. Здесь Лейбниц занимает позицию, отличную как от античной — аристотелевско-евклидовской, так и от картезианской. В этом отношении интересно проанализировать диалог 1776 года «Пацидий — Филалету», в котором намечены все ходы мысли, воспроизводившиеся затем Лейбницем на протяжении последующих сорока лет. Диалог посвящен трудностям, связанным с проблемой континуума, которая, по Лейбницу, есть узел, еще никем не развязанный. «Ни Аристотель, ни Галилей, ни Декарт не могли обойти этот узел: один его скрыл, другой оставил неразвязанным, третий разрубил»41. Диалог построен по классическим канонам жанра: принимается допущение, затем обсуждаются его следствия, и оно отвергается в пользу другого, которое затем обсуждается таким же образом.
Первое допущение, которое принимает Лейбниц, принадлежит сторонникам составления непрерывного из неделимых. К ним первоначально, до своего приезда в Париж, принадлежал и сам Лейбниц. Вот это допущение: пространство состоит из точек, а время — из моментов «теперь». Поскольку составление линии из конечного
-278-
числа точек ведет к очевидным несообразностям, например к невозможности разделить отрезок пополам, то остается допустить, что «линии состоят из точек, но по числу бесконечных»42. Однако в этом случае пришлось бы согласиться, что диагональ и сторона квадрата равны, а также что целое равно части. Поскольку это невозможно, делается вывод: линия не состоит из точек, и принимается аристотелево определение континуума как делимого до бесконечности. Актуально бесконечное в математике, таким образом, отвергается. Эту позицию Лейбниц оценивает как «ответ Галилею». Ответ этот гласит: «До обозначения нет никаких точек... Нет точек, линий, поверхностей, т. е. вообще оконечностей (границ, пределов. — П.Г.), кроме тех, которые возникают при делении: и в непрерывности нет частей, пока они не созданы делением. Но никогда не осуществляются все деления, какие только осуществимы...»43 Это — позиция Аристотеля, Евдокса, Декарта, допускающая лишь потенциальную бесконечность.
Однако Лейбниц на этом не останавливается. Хотя, казалось бы, вопрос решен и противоречия сняты, он ставит вопрос о континууме в физике, рассматривая структуру твердых тел и жидкостей и желая теперь возразить Декарту, с которым он только что солидаризировался. «Я не допускаю ни атомов (Гассенди), т. е. совершенно твердого тела, ни тонкой материи Декарта, т. е. совершенно жидкого тела»44. Модель физической непрерывности, по Лейбницу, — это тело, повсюду сгибаемое. «Разделение непрерывности надо уподобить не песку, распадающемуся на отдельные песчинки, а бумаге или ткани, которая может образовать складки: хотя число складок ничем не ограничено и они могут быть все меньше и меньше одна другой, однако тело никогда не распадается на точки или наименьшие части »45. Для Лейбница главное здесь — что «складки» все время остаются протяженными величинами, а не превращаются в «неделимые точки». Однако принципиального отличия от Декарта тут нет, ибо у последнего тоже части материи — корпускулы — остаются всегда делимыми.
Рассмотрев непрерывность пространства, времени, а затем материи Лейбниц ставит вопрос о непрерывности по отношению к движению и рассматривает две альтернативные точки зрения. Если принять непрерывное движение,