-29-
Раздел I. Формирование античной науки в лоне философии
Глава I
У ИСТОКОВ АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ
В последнее время в связи с углубленным изучением тех поворотов в развитии науки, которые обычно называют научными революциями, нередко можно встретиться с утверждением, что наука, какой мы ее видим сегодня, в сущности берет свое начало на заре Нового времени, в XVI — первой половине XVII вв. Что же касается тех форм знания, которые принято называть античной и средневековой наукой, то они настолько радикально отличны от науки нового времени, что тут вряд ли можно говорить даже о преемственности.
Не вдаваясь в подробное рассмотрение этого вопроса, достаточно сложного и требующего специального анализа, мы должны, однако, отметить один важный аргумент, говорящий против вышеприведенной точки зрения. Даже если допустить, что изменение научных методов исследования в XVI-XVII вв. было столь радикальным, что породило совершенно новую науку, то невозможно отрицать, что становление новой физики происходило на базе той математики, которая возникла в древности. Ибо «Начала» Евклида и математические сочинения Архимеда не только не были отброшены учеными XVII века, но, напротив, признавались тем фундаментом, на котором возводится здание новой науки.
Здесь, однако, может возникнуть вопрос: почему, желая исследовать, когда и как возникла математика как на
-30-
ука, мы обращаемся к древнегреческим мыслителям, в то время как уже до греков, в Вавилоне и Египте, существовала математика, а стало быть, здесь и следует искать ее истоки?
Действительно, математика возникла задолго до греков — в Древнем Египте и Вавилонии. Но особенностью древнеегипетской и вавилонской математики было отсутствие в ней систематичности, связи друг с другом отдельных положений, — одним словом, отсутствие системы доказательств1, которая впервые появляется именно у греков. «Большое различие между греческой и древневосточной наукой,— пишет венгерский историк науки А. Сабо, — состоит именно в том, что греческая математика представляет собой систему знаний, искусно построенную с помощью дедуктивного метода, в то время как древневосточные тексты математического содержания — только интересные инструкции, так сказать рецепты и зачастую примеры того, как надо решать определенную задачу»2. Древневосточная математика представляет собой совокупность определенных правил вычисления; то обстоятельство, что древние египтяне и вавилоняне могли осуществлять весьма сложные вычислительные операции, ничего не меняет в общем характере их математики.
Эти характерные особенности древневосточной математики объясняются тем, что она носила практически-прикладной характер: с помощью арифметики египетские писцы решали задачи о расчете заработной платы, о хлебе или пиве и т. д.3, а с помощью геометрии вычисляли площади или объемы. «...В обоих случаях вычислитель должен был знать правила, по которым следовало производить вычисление. Но что касается систематического вывода правил для этих расчетов, то о них нет речи, да и не может идти, ибо часто (как, например, при определении площади круга) употребляются только приближенные формулы»4.
В Греции мы наблюдаем появление того, что можно назвать теоретической системой математики: греки впервые стали строго выводить одни математические положения из других.
Надо отметить, что в Древней Греции так же, как и в Вавилоне и Египте, разрабатывалась техника вычислений,
-31-
без которой невозможно было решать практические задачи строительства, военного дела, торговли, мореходства и т. д. Но важно иметь в виду, что сами греки называли приемы вычислительной арифметики и алгебры логистикой (лпгйуфйкЮ — счетное искусство, техника счисления) и отличали логистику как искусство вычисления от теоретической математики. Правила вычислений, стало быть, разрабатывались в Греции точно так же, как и на Востоке, и, конечно, греки при этом могли заимствовать очень многое как у египтян, так и в особенности в малоазийских государствах. Математические знания Египта, Вавилона и Греции, использовавшиеся для решения практических задач, явились одновременно реальным фундаментом для последующего осмысления математики как системной теории.
Становление математики как системной теории, какой мы ее находим в евклидовых «Началах», представляло собой длительный процесс: от первых греческих математиков (конец VI в. до н. э.) до III в. до н. э., когда были написаны «Начала», прошло около трехсот лет бурного развития греческой науки. Однако уже у ранних пифагорейцев5, т. е. на первых этапах становления греческой математики, мы можем обнаружить особенности, принципиально отличающие греческую математику от древневосточной.
Прежде всего такой особенностью является новое понимание смысла и цели математического знания, иное понимание числа: с помощью числа пифагорейцы не просто решают практические задачи, а хотят объяснить природу всего сущего. Они стремятся поэтому постигнуть сущность чисел и, главное, числовых отношений. По существу, именно пифагорейцы впервые пришли к убеждению, что «книга природы написана на языке математики»,— как спустя более двух тысячелетий сформулировал эту мысль Галилей.
Если смотреть на развитие науки исторически, то не будет ничего удивительного в том, что мыслители, впервые попытавшиеся не просто технически оперировать с числами (т. е. вычислять), но понять саму сущность числа и характер отношений чисел друг к другу, могли решать эту задачу первоначально только в форме объяснения всей
-32-
структуры мироздания с помощью числа как первоначала. Поэтому можно сказать так: чтобы появилась математика как теоретическая система, какой мы ее обнаруживаем у Евклида, должно было сперва возникнуть учение о числе как начале мира, и это учение сыграло роль посредника между древней восточной математикой как собранием образцов для решения отдельных практических задач и древнегреческой математикой как системой положений, строго связанных между собой с помощью системы доказательства.
Пифагорейцы сосредоточили внимание на том открытом ими факте, что числа могут вступать между собой в некоторые отношения и эти числовые связи и отношения выражают собой существенные закономерности природных явлений и процессов. Согласно Филолаю, «все познаваемое имеет число. Ибо без последнего невозможно ничего ни понять, ни познать»6. Сделанное пифагорейцами открытие было необходимым, но еще не достаточным условием для становления математической теории, как мы ее находим в «Началах» Евклида. Греческая научно-философская мысль должна была пройти еще ряд этапов, чтобы те первоначальные интуиции, которые лежали в основании пифагорейской математики, отлились в форму логически ясных понятий. Пифагорейские представления об отношении вещей и чисел первоначально были весьма неопределенными с логической и онтологической точек зрения.
Так, от Аристотеля мы получаем свидетельство, что пифагорейцы не проводили принципиального различия между числами и вещами. «Во всяком случае,— говорит Аристотель,— и у них, по-видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей и в качестве выражения для их состояний и свойств...»7. Согласно Аристотелю, пифагорейцы не ставят вопроса о способе существования числа, т. е. о его онтологическом статусе, а потому у них «чувственные сущности состоят из этого числа»8, а это, в свою очередь, возможно лишь при условии, если числа имеют пространственную величину9. Если Аристотель здесь действительно адекватно воссоздает представления пифагорейцев, то в таком случае, надо полагать, они мыслили числа как некоторые «телесные единицы»,
-33-
и не случайно пифагореец Экфант, по сообщению Аэция, «первый объявил пифагорейские монады телесными»10.
Не вдаваясь детально в анализ пифагорейского учения о числе, пространстве, точке, фигуре и т. д., мы можем только высказать предположение, что приведенное свидетельство Аристотеля указывает скорее на то, что эти исходные понятия пифагорейской математики не были еще логически и онтологически отрефлектированы, нежели на то, что пифагорейцы сознательно и обоснованно отождествляли числа с телесными вещами или «составляли» вещи из чисел.
Первый толчок к рефлексии по поводу основных понятий математики, по-видимому, дало открытие несоизмеримости, имевшее место, по свидетельству исторических источников, именно в пифагорейской школе11. Следует, однако, отметить, что это открытие могло быть сделано только там и тогда, где и когда уже возникли основные контуры математики как связной теоретической системы. Ведь только в этом случае может возникнуть удивление, что дело обстоит не так, как следовало ожидать. Не случайно открытие несоизмеримости принадлежит именно грекам, хотя задачи на извлечение квадратных корней, в том числе корень квадратный из 2, и решались уже в древневавилонской математике и составлялись таблицы приближенных значений корней.
Но если открытие несоизмеримости стало возможным только на почве пифагорейской математики, то оно в свою очередь вызвало целый переворот в математике и заставило пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой разумеющимися. Видимо, открытие несоизмеримости привело к перестройке первого здания пифагорейской математики, так называемой «арифмогеометрии»12, поскольку указало на то, что существуют отношения, не выражаемые числами (греки понимали под числами только целые положительные числа). В результате возникла тенденция к геометризации математики — с целью геометрически выразить отношения, не выразимые с помощью арифметического (целого) числа. Естественно, что переход от «арифмогеометрии» к геометрической алгебре сопровождался размышлением о самих основаниях математики и ставил под
-34-
вопрос первоначальное представление пифагорейцев о соотношении «вещей» и «чисел».