Стремление избежать антиномий привело математиков к необходимости наложить ограничения на канторовское определение множества, которое Кассирер и Наторп, как и многие математики, называют «наивным». Этим путем пошли Цермело, создавший один иа вариантов аксиоматической теории множеств, и Рассел, создавший теорию типов. Ограничение, вводимое последней, состоит в том, что совокупность не может содержать членов, которые можно определить только через саму эту совокупность. Рассматривая ограничения, вводимые в канторовское определение множеств Расселом и Цермело, Кассирер замечает, что хотя благодаря такого рода ограничениям и можно избежать парадоксов, но методологический недостаток этих нововведений состоит в том, что ни один из указанных математиков не может объяснить необходимости предлагаемого им метода. Поэтому никогда нельзя знать наперед, не возникнут ли новые парадоксы уже при установлении такого рода ограничений, поскольку при этом не подвергается лечению сама болезнь, а лишь устраняются ее симптомы76.
До тех пор, утверждает Кассирер, пока математики не подойдут к определению множества через закон его построения, а будут основывать свои теории на логике Аристотеля, удовлетворительного обоснования теории множеств они не смогут предложить. Другими словами, для обоснования теории множеств Кассирер предлагает опять-таки установить примат отношения над вещью, примат «функции» над «субстанцией». «Заслуга интуиционизма по отношению ко всем этим попыткам,— пишет Кассирер, — состоит в том, что он восстанавливает примат отношения... Он сознательно отказывается от всякой попытки глубже заложить фундамент чистой теории числа путем рассмотрения этой теории как частного случая общей теории множеств и логического "дедуцирования" натуральных чисел из понятия классов и множеств»76.
На место дедуцирования у интуиционистов встает «полная индукция», которую нельзя смешивать с общераспространенным понятием индукции, обозначающим «эмпирическое обобщение»; индукция, о которой идет здесь
-386-
речь, отличается от эмпирической. «Истинная математическая индукция, — говорит Кассирер, — не ищет пути ко всеобщему, а указывает этот путь, — более того, она сама и есть этот путь. И ее подлинный указатель — это не то «индуктивное умозаключение», которое переходит от некоторого данного множества случаев к гипотетическому допущению или утверждению относительно всех случаев, а так называемое «умозаключение от п к п+1». В этом умозаключении определения, найденные и доказанные на единичных случаях, на отдельных числах, не складываются вместе и затем переносятся на другие, тоже единичные случаи, а в известной мере имеет место восхождение к абсолютному принципу числа: признается, что то же самое основное отношение, которое в числовом ряду связывает некоторый член с непосредственно следующим за ним членом, распространяется на весь этот ряд и определяет его во всех его частях»77.
В основе таким образом понятого принципа «полной индукции» лежит тот самый «априорный синтез», на котором зиждется неокантианская логика отношений вообще. Характерно, что здесь Кассирер и Наторп тесно соприкасаются с точкой зрения на обоснование математики, высказанной А. Пуанкаре в его работе «Наука и гипотеза». Кассирер ссылается в этой связи также на Вейля, согласно которому «полная индукция», понятая как умозаключение от п к п+1, есть математическая праинтуиция, не нуждающаяся в дальнейших доказательствах78.
Таким образом, неокантианцы видят преимущество интуиционизма в том, что он в своем обосновании математики исходит не из отношений вещей (независимо от того, понимать ли эти вещи как эмпирические или идеальные предметы), а из отношений чистого полагания, которые можно свести в конце концов к функциям полагания единства и различия, и на этой базе утверждает априорность положений математики и специфически математическую очевидность. Это дает возможность интуиционистам, в отличие от их оппонентов, показать необходимость вводимых ими ограничений.
Построение по «математической индукции», в основе которой лежит «праинтуиция» положительного целого числа и с которой интуиционизм отождествляет матема
-387-
тическую деятельность, признается почти всеми интуиционистами, начиная с Л. Кронекера79 и Л. Брауэра и кончая «полуинтуиционистами» — Вейлем, Пуанкаре и др. А это построение весьма близко по своему логическому основанию к теории числа, развитой Наторпом и Кассирером и изложенной нами выше.
Однако, принимая основной исходный принцип интуиционизма, неокантианцы не во всем согласны с тем логическим его обоснованием, которое дают ему интуиционисты, по крайней мере некоторые из них. Если интуиционизм возводит математику к праинтуиции числа, то сама эта интуиция не может означать созерцания конкретных вещей, а только созерцание чистого метода построения индивидуумов, называемых числами. Знание закона полагания предшествует тому, что полагается посредством этого закона. «Только в том случае, — пишет Кассирер, — если современный «интуиционизм» проникнется этой идеалистической идеей и поймет себя как выражение этой идеи, он сможет полностью развернуть свою силу в критике оснований математики и доказать ее на деле. Конечно, сам идеализм должен быть при этом понят как строго «объективный» идеализм: предметная сфера математики не может быть основана на психологическом акте счета, а должна быть основана на чистой идее числа»80.
Этому требованию вполне удовлетворяет интуиционизм, как он представлен, например Л. Брауэром. Кассирер согласен с Брауэром, когда тот заявляет, что математика есть «гораздо больше деятельность, чем теория». Но математическая деятельность, по Кассиреру, есть чисто интеллектуальная деятельность, протекающая не во времени, — напротив, она сама впервые делает возможным тот основной момент, на котором зиждется самопротекание времени, — момент рядополагания (Reihung). Математика не может опираться на эмпирическую последовательность моментов, на психологический акт счета, как на свой фундамент, — на этом пункте Кассирер принципиально настаивает. По мнению Кассирера, Брауэр недостаточно четко различает деятельность как чисто интеллектуальный акт и деятельность как психологический акт просчитывания, а потому в его обоснование математики закрадываются элементы психологизма. Вместо стро
-388-
гого «объективного» идеализма он часто опирается на идеализм субъективный, истолковывая деятельность, лежащую в основе математики, как эмпирическую, протекающую во времени. В этом смысле, по мнению Кассирера, следует предпочесть тот вариант интуиционизма, который представлен Вейлем81. У последнего психологизм выявлен гораздо меньше, и он ближе стоит к тому идеалу, который предложен Кассирером: понять математику как основанную не на акте счета, а на идее числа.
Особенно резкой критике подвергает Кассирер попытку Оскара Беккера осмыслить исходные посылки интуиционизма с помощью антропологического истолкования феноменологии Гуссерля. Беккер опирается при этом уже не на самого Гуссерля, а на Хайдеггера, конкретнее, на его работы «Бытие и время» и «Кант и проблема метафизики ». Он связывает всеобщий принцип ряда, на котором базируется его теория числа, с феноменом времени, подчеркивая «решающую роль временности для бытийного характера математических предметов»82. При этом время у Беккера, как и у Хайдеггера, выступает уже не как кантовское время, т. е. не как последовательность моментов (а ведь и кантовское время неокантианцы тоже элиминируют, считая введение его в качестве условия возможности математики психологизацией последней), а как «историческое» время, «временность», т. е. как время, переживаемое математиком. Беккер, таким образом, обосновывает математику уже не с помощью трансцендентализма, а с помощью антропологизма, подчеркивая, вслед за Хайдеггером, что экзистенция человека, понятая конкретно в ее основных структурах (смерти, историчности, свободы и т. д.), определяет собой структуру математики.
Кассирер так же решительно выступает против такого обоснования математики, как он выступил против антропологической интерпретации «Критики чистого разума» Канта у Хайдеггера. «Объективное» время математики, — пишет он, — никоим образом нельзя смешивать с «историческим» временем или с временем, «данным в переживании» математика... Рассмотрение современной математики, насколько я вижу, не оправдывает попытки превратить «трасцендентальный» идеализм в антропологический. «Субъектом», к которому отнесены чистые конструктив
-389-
ные принципы математики и тем самым сфера математической предметности, остается «Я мыслю» трансцендентальной апперцепции Канта, т. е. то «чистое Я», «полюс Я», из которого первоначально исходит также и Гуссерль. Напротив, Беккер стремится свести содержание и состав математики к определенному роду и направлению «фактических феноменов жизни»; в конечном счете он основывает математическое «существование» на определенных «способах фактической жизни»83.
Таким образом, неокантианцы не принимают тех «психологистских» и «антропологических» обертонов, которые сопровождают интуиционистское обоснование математики у некоторых представителей интуиционизма.
Если интуиционизм неокантианцы пытаются корректировать, стараясь устранить его субъективные, психологические способы истолкования исходного принципа конструирования математического предмета, то к формализму, представленному прежде всего Гильбертом, они относятся более критически. Математика, говорит Кассирер, пытается спасти свою автономию, объявляя себя наукой о знаках. Самым последовательным на этом пути является, по мнению Кассирера, Гильберт, который выступает как против интуиционизма Брауэра и др., так и против «реализма понятий» Фреге и Рассела. Согласно Гильберту, только знаки в математике дают ту нить, по которой можно идти вперед, не опасаясь получить недостоверные положения. «Процесс удостоверения (математического знания. — Ш1.), — говорит Кассирер о Гильберте, — перенесен с содержательного мышления на символическое»84.