Методические указания к курсовой работе Владимир 2011 (стр. 2 из 7)

3) Рассчитать и построить импульсную характеристику и АЧХ предложенного фильтра.

4) Определить параметр сигнала τ_и, при котором достигается отношение сигнал/помеха на выходе, равное 10.

5) Предложить рациональное размещение импульсов в пачке, включая их инвертирование.

6) Построить отклик синтезированного фильтра на сигнал и определить коэффициент сжатия сигнала да выходе, приняв уровень отсчета длительности выходного сигнала равным половине максимального значения.

Числовые данные к вариантам заданий по подразд. 2.2 и 2.3 приведены в прил. 4.

3. Методические указания к выполнению первого задания

3.1. Математические модели сигналов

В случае задания сигнала аналитическим выражением во временной области:

- построить временную диаграмму сигнала (для периодического сигнала на отрезке оси времени, длиной около трех периодов, а для непериодического сигнала на отрезке оси времени, содержащем значения сигнала от максимального до 10 % от максимального);

- оценить общие свойства сигнала как функции времени (четность или нечетность, форма сигнала - гармоническая, прямоугольная, треугольная, трапецеидальная, линейно-ломаная, экспоненциальная и др. и их комбинации);

- представить сигнал по заданному аналитическому выражению или временной диаграмме с помощью функций Хевисайда (единичного скачка), функций Дирака (дельта-импульс, дельта-функция, единичный импульс), т.е. осуществить динамическое представление сигнале, и проанализировать такое представление с позиций простоты, точности и др.;

- представить сигнал в виде алгебраической суммы более простых (элементарных) сигналов: ступенчатых и линейно изменяющихся функций, экспоненциальных функций и т. п.;

- найти требуемые по условию задачи параметры сигнала (его экстремальные значения, длительность на заданном уровне от максимального и др.);

- проанализировать, от каких численных параметров сигнала, входящих в его аналитическое описание, и как зависят искомые амплитудные или временные параметры сигнала.

Пример 3.1. Сигнал задан аналитическим выражением

Это непериодический сигнал, представляющий собой алгебраическую сумму линейно нарастающего сигнала на отрезке времени от 0 до t₀ и экспоненциально убывающего, начиная с времени t₀ , импульса. Длительность сигнала бесконечна.

Временная диаграмма сигнала представлена на рис. 2

На интервале времени (0, t₀) сигнал S(t) может быть представлен с помощью функции Хевисайда в виде:

,

где функция единичного скачка

функция Хевисайда, входящая в подынтегральное выражение, в виде 1(1 -Т) в зависимости от представлена на рис. 3.

Рис.3

Интегрирование этой функции в интервале от 0 до t и дает линейно нарастающую функцию.

Таким образом, с использованием функции 1(t) можно заданный сигнал представить в виде:

Для определения длительности сигнала на уровне

от максимального значения S₀ необходимо решить уравнение - которое, как видно из рис. 3, имеет два решения и . Это уравнение распадается на эквивалентную систему из двух уравнений

решение которой дает

и .

Тогда длительность

сигнала на уровне равна

.

Полученное выражение покапывает, что длительность сигнала состоит из двух слагаемых, первое из которых пропорционально постоянной времени

экспоненты, а второе пропорционально t₀. При этом оба слагаемых зависят от так, что при получаем .

3.2. Спектральные представления сигналов

При решении задач на эту тему необходимо:

- изобразить временную диаграмму сигнала;

- по заданному или полученному на основе временной диаграммы аналитическому описанию сигнала во временной области определить его четность или нечетность;

- путем сдвига сигнала во времени перейти, если это возможно, к некоторому вспомогательному сигналу, обладающему свойством четности или нечетности;

- представить сигнал в виде суммы более простых сигналов;

- используя свойства коэффициентов ряда Фурье, определить не равные нулю коэффициенты ряда для вспомогательного сигнала (сигналов);

- записать вспомогательный сигнал (сигналы) с помощью ряда Фурье;

- осуществить обратный сдвиг сигнала во времени путем добавления к фазе каждой гармоники слагаемого

, где знак плюс соответствует сдвигу в сторону опережения сигнала, минус - в сторону запаздывания;

- частота первой гармоники; n - номер гармоники; - величина сдвига во времени;

- вычислить амплитудный и фазовый спектры сигнала;

- в случае непериодического сигнала представить его, если это необходимо, в виде суммы более простых сигналов, спектральные плотности которых известны;

- найти спектральную плотность непериодического сигнала как алгебраическую сумму спектральных плотностей слагаемых с учетом их временного положения;

- вычислить амплитудный и фазовый спектры непериодического сигнала с учетом временного сдвига сигнала во времени, введенного для упрощения расчетов;

- построить спектральные диаграммы сигнала;

- проанализировать характер спектра сигнала при неограниченном возрастании частоты (например, установить, убывает ли спектр обратно пропорционально частоте, ее квадрату и т.д.) и как связан этот характер с временной диаграммой сигнала;

- проанализировать связь временных и частотных параметров сигнала (связь длительности с шириной спектра и т. п.).

Пример 3.2. Периодический сигнал (рис. 4)

Можно записать в виде выражения

Анализируемый сигнал не является ни четной, ни нечетной функцией времени. Представим его в виде суммы более простых сигналов. Такое представление может быть многообразным, поэтому важно добиться возможно большего упрощения при вычислениях. Заметим, что исходный сигнал имеет равную нулю постоянную составляющую. Один из вариантов представления сигнала в виде суммы двух сигналов

и дан на рис. 5, а, б.

Для упрощения вычислений целесообразно к сигналу добавлять в случае необходимости какую-либо постоянную составляющую, величина которой не изменяет амплитуд гармоник. Если сдвинуть сигнал

по оси ординат на величину , то он станет униполярным с амплитудой однако останется ни четным, ни нечетным. Поэтому путем сдвига сигнала по вертикали на величину превратим его в нечетную функцию времени - двухполярные прямоугольные импульсы с амплитудой и скважностью, равной двум. Ряд Фурье для такого сигнала содержит только синусоидальные слагаемые, амплитуды которых вычисляются по формуле

Четные гармоники отсутствуют, а амплитуды нечетных равны

, поэтому сигнал можно представить в виде ряда: