Методические указания к курсовой работе Владимир 2011 (стр. 3 из 7)

Сигнал

-четная функция времени – имеет постоянную составляющую, равную . Для упрощения вычисления амплитуд косинусоидальных гармонических составляющих добавим к этому сигналу величину .

Тогда

Четные гармоники отсутствуют, а нечетные – это отрицательные косинусоиды с амплитудами

, поэтому можно записать в виде ряда:

Суммарный сигнал:

Амплитудный спектр:

.

Фазовый спектр:

,

Где

.

По этим формулам можно построить спектральные диаграммы амплитуд и фаз.

Пример 3.3. Найти спектральную плотность сигнала, приведенного на рис.6. Этот сигнал можно представить в виде алгебраической суммы сигналов:

.

По таблицам преобразований Лапласа находим:

;

На основании свойства линейности преобразования Лапласа получаем

Заменяя

запишем спектральную плотность сигнала:

Полученное выражение показывает, что слагаемые спектральной плотности, соответствующие линейно изменяющимся во времени составляющим

и , убывают обратно пропорционально квадрату частоты, а слагаемое, соответствующее скачку ,- обратно пропорционально частоте в первой степени.

3.3. Модулированные сигналы

При анализе свойств модулированных колебаний необходимо:

- по спектральной, векторной или временной диаграмме, по аналитическому описанию сигнала установить вид модуляции, параметры модуляции, форму модулирующего сигнала;

- по спектральной или векторной диаграмме найти аналитическое описание сигнала во временной области и наоборот, определив, периодическим или непериодическим сигналом осуществляется модуляция

- для представления узкополосного сигнала в виде квазигармонического колебания с медленно меняющейся огибающей и мгновенное частотой, используя для этого, при необходимости, преобразование Гильберта;

- построить временную и спектральную диаграммы огибающей,

временную диаграмму мгновенной частоты и оценить ширину диапазона ее изменения и практическую ширину спектра сигнала:

- в случае построения спектра модулированных по амплитуде импульсов показать связь спектров немодулированных импульсов и модулирующего сигнала со спектром модулированных импульсов;

- показать связь параметров модулирующего сигнала с параметрами модуляции, с временными и спектральными характеристиками сигнала;

- предложить способ, структурную схему формирования рассматриваемого сигнала, вытекающие из проведенного анализа.

Пример 3.4. На рис. 7 приведена спектральная диаграмма узкополосного сигнала

. Начальные фазы всех спектральных составляющих равны нулю. Найти огибающую и мгновенную частоту этого сигнала при , .

Первый путь решения.

Сигнал

представляет собой сумму трех гармонических колебаний:

Сопряженный по Гильберту сигнал:

Огибающая сигнала:

При конкретных значениях

, , и можно построить временную диаграмму . Максимальное значение огибающей:

Огибающая A(t) образована путем нелинейного преобразования суммы трех гармонических колебаний с частотами

, , поэтому в спектре огибающей присутствуют комбинационные частоты вида где - целые положительные или отрицательные числа, включая нуль.

Мгновенная частота определяется формулой:

,

вычисления, по которой, хотя и не сложны, но громоздки.

Второй путь решения основан на свойствах АМ-колебаний и колебаний с угловой модуляцией при малом индексе. Для получения спектральных составляющих на частотах

и сформируем вспомогательные сигналы

При

получим

Откуда видно, что приняв

, представляем в виде:

,

Что при

соответствует спектральной диаграмме.

С другой стороны, сигнал

можно разложить на квадратурные составляющие

Фаза суммарного сигнала:

Мгновенная частота:

Пример 3.5. Построить амплитудный спектр сигнала, временная диаграмма которого показана на рис.8

Примем, что период

кратен . При отсутствии модуляции сигнал представляет собой последовательность прямоугольных периодических импульсов, которую можно представить в виде ряда Фурье:

.

При наличии модулирующих импульсов каждая гармоника сигнала

будет промодулирована по амплитуде прямоугольными импульсами с периодом и длительностью . Спектр модулирующего сигнала: