Задачи искусственного интеллекта 7 Тест по теме «История развития искусственного интеллекта» 9 (стр. 15 из 24)
В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение
- степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A.Более строго, нечетким множеством A называется совокупность пар
где
— функция принадлежности, т.е. 
Пусть, например, U={a, b, c, d, e},
. Тогда элемент a не принадлежит множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом множества A.Пример. Пусть универсум U есть множество действительных чисел. Нечеткое множество A, обозначающее множество чисел, близких к 10, можно задать следующей функцией принадлежности (рис. 19):
, где 
Рис. 19. Функция принадлежности
Показатель степени m выбирается в зависимости от степени близости к 10. Например, для описания множества чисел, очень близких к 10, можно положить m=4, для множества чисел, не очень далеких от 10, m=1.
Носителем нечеткого множества A называется четкое множество
таких точек в U, для которых величина положительна, т.е. 
Ядром нечеткого множества A называется четкое множество
таких точек в U, для которых величина = 1.Множеством уровня
( -срезом) нечеткого множества A называется четкое подмножество универсального множества U, определяемое по формуле 
, где 
Функцию принадлежности называют нормальной, если ядро нечеткого множества содержит хотя бы один элемент.
Операции над нечеткими множествами
Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные операции: объединение, пересечение и инверсия/дополнение.
Для определения пересечения и объединения нечетких множеств наибольшей популярностью пользуются следующие три группы операций:
| Максиминные |  |
| Алгебраические |  |
| Ограниченные |  |
Дополнение нечеткого множества во всех трех случаях определяется одинаково:
Пример. Пусть A— нечеткое множество "от 5 до 8"и B— нечеткое множество "около 4", заданные своими функциями принадлежности (рис.20):
Рис. 20. Функции принадлежности нечетких множеств А и B.
Тогда, используя максиминные операции, мы получим следующие множества, изображенные на рис. 21.
Рис. 21. Функции принадлежности нечетких множеств, полученных из А и B.
При максиминном и алгебраическом определении операций не будут выполняться законы противоречия и исключения третьего:
а в случае ограниченных операций не будут выполняться свойства идемпотентности и дистрибутивности:
и 
Можно показать, что при любом построении операций объединения и пересечения в теории нечетких множеств приходится отбрасывать либо законы противоречия и исключения третьего, либо законы идемпотентности и дистрибутивности.
Нечеткая логика
Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.
Нечеткая переменная характеризуется тройкой <a, X, A>, где a - наименование переменной, X - универсальное множество (область определения a),
A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. m A(x)) на значения нечеткой переменной a.
Лингвистической переменной называется набор <b ,T,X,G,M>, где b - наименование лингвистической переменной, Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X (множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной), G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения), М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.
Лингвистическую переменную можно определить как переменную, значениями которой являются не числа, а слова или предложения естественного (или формального) языка. Например, лингвистическая переменная "возраст" может принимать следующие значения: "очень молодой", "молодой", "среднего возраста", "старый", "очень старый" и др. Ясно, что переменная "возраст" будет обычной переменной, если ее значения — точные числа; лингвистической она становится, будучи использованной в нечетких рассуждениях человека.
Каждому значению лингвистической переменной соответствует определенное нечеткое множество со своей функцией принадлежности. Так, лингвистическому значению "молодой" может соответствовать функция принадлежности, изображенная на рис.22.
Рис.22. Функция принадлежности значения «молодой» лингвистической переменной «возраст»
Пример: Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий "малая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм (рис. 23).
Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной <b, T, X, G, M>, где
b - толщина изделия;
T - {"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"};
X - [10, 80];
G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например: "малая или средняя толщина" (рис. 24), "очень малая толщина" и др.;
М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А1="малая толщина", А2 = "средняя толщина", А3="большая толщина", а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка" и др.
Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" (Т={"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"}) возможны значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", т.е. в виде нечетких чисел.
Рис. 23. Функции принадлежности нечетких множеств:
"малая толщина" = А1 , "средняя толщина"= А2, " большая толщина"= А3 .
Рис. 24. Функция принадлежности:
нечеткое множество "малая или средняя толщина" = А1ÈА1