С. Н. Березинская, О. В. Сорокина, Е. И. Кугушев (стр. 2 из 7)

Пространством возможных перемещений

в точке назовем множество векторов , удовлетворяющих условиям

, , ,

Пространством касательных перемещений

в точке назовем множество векторов , удовлетворяющих условию

Любое касательное перемещение является возможным.

Следуя [8] будем формулировать условия идеальности связей в интегральной форме. Вариацией кривой

, будем называть любую непрерывную вектор-функцию . Вариация называется возможной, если для всех . Вариация называется касательной, если для всех . Поскольку , то любая касательная вариация является возможной. Если вариация является касательной, то вариация также касательная.

Принцип освобождения от связей. Пусть

– траектория движения. Тогда систему можно освободить от связей и добавить некую силу – реакцию связей таким образом, что останется траекторией движения освобожденной системы. При этом компоненты реакции связей представляют собой меры Лебега-Стилтьеса . Они могут иметь особенности, сосредоточенные на множестве тех моментов времени, в которые траектория выходит на односторонние ограничения. Траектория системы представляет собой такую абсолютно непрерывную функцию , производная которой, , является функцией с ограниченной вариацией. При этом будут выполнены уравнения движения с мерами.

(1.1)

Идеальность связей. Связи называются идеальными, если для любой траектории системы

, и для любой её возможной вариации интегральная элементарная работа сил реакции связей неотрицательна, т.е.

(1.2)

Это условие, в частности, означает, что, при выходе траектории системы на границу удерживающих связей, реакция связей направлена внутрь области, допустимой этими связями.

Из (1.2) следует, что для любой касательной вариации

интегральная элементарная работа сил реакции связей равна нулю . Если допустить противное, то найдется касательная вариация такая, что . Взяв касательную и, следовательно, возможную вариацию получим , что противоречит (1.2).

Найдя

из (1.1) и подставив в (1.2) получим эквивалентную форму записи условия идеальности связей. На траекториях системы для любой возможной вариации должно выполняться

(1.3)

Отсюда следует, что для любой касательной вариации

.

Сформулируем теперь известное утверждение из функционального анализа, необходимое для вывода уравнений движения нашей системы.

Для заданного движения

обозначим – банахово пространство вариаций , т.е., пространство непрерывных -мерных вектор-функций. Определим на касательный оператор как отображение в пространство мерных непрерывных функций: , где . Обозначим . Это также банахово пространство. Пространство касательных вариаций является ядром линейного оператора . В соответствии с леммой об аннуляторе ядра регулярного оператора (см., например, [9]) имеем . Здесь символом обозначены сопряженные пространства и сопряженные операторы, а – аннулятор множества , т.е. множество линейных функционалов обращающихся на нем в ноль.

Из теоремы Рисса о виде линейного функционала в пространстве непрерывных функций вытекает следующее утверждение: пусть

векторная мера Лебега Стилтьеса на , и

для любой непрерывной вектор-функции

такой, что для всех . Тогда найдется мера Лебега-Стилтьеса на , такая что

где

– транспонированная матрица . При этом каждая компонента меры сосредоточена на том множестве, где не обращается в ноль строка матрицы касательного оператора .

Разделяя этот оператор на составляющие удерживающих и односторонних связей, получаем