С. Н. Березинская, О. В. Сорокина, Е. И. Кугушев (стр. 3 из 7)
(1.4)Более подробно с этими вопросами можно ознакомиться в [14].
Принцип Даламбера-Лагранжа. Пусть абсолютно непрерывная кривая
удовлетворяет идеальным связям, наложенным на систему, а ее производная существует почти всюду и является функцией ограниченного изменения. Кривая 
является траекторией движения тогда и только тогда, когда для любой возможной вариации 
выполнены соотношения (1.3).Применив (1.4) для касательных вариаций получаем отсюда уравнения Лагранжа 1-го рода [10, 11]. Кривая
является траекторией движения системы с идеальными связями (1.1-2) тогда и только тогда, когда найдутся такие векторные меры Лебега-Стилтьеса 
, 
, 
и 
, что
(1.5)где знак
означает транспонирование матриц. При этом каждая мера 
и 
неотрицательна и сосредоточена на множестве моментов времени, в которые 
и 
соответственно. Каждая мера 
сосредоточена на множестве моментов времени, в которые 
. Неотрицательность мер 
, 
следует из условия идеальности связей (1.2).Функции
, 
, 
, и 
, как функции ограниченной вариации, однозначно раскладываются на сумму трех функций – абсолютно непрерывной, непрерывной сингулярной и функции скачков. Последняя представляет собой ступенчатую функцию с не более чем счетным числом ступеней. В точках скачка мер (и только в них) траекторная скорость 
также может иметь скачок. Обозначим эти скачки соответственно 
, 
, 
, 
и 
. В силу (1.5) они связаны соотношением 
Отсюда, заметив, что во все время движения выполнены уравнения удерживающих связей, т.е.
, получаем условие скачка 
Заметим, что, если функции, описывающие связи, имеют второй класс гладкости, то скорость движения имеет только две составляющие – абсолютно непрерывную функцию и функцию скачков [10].
Для систем с идеальными удерживающими и односторонними голономными связями известны теоремы об изменении количества движения системы и о движении ее центра масс в точках мгновенного удара [13]. Эти теоремы верны и в общем случае, когда выход на границу односторонних связей не является мгновенным [10, 11]. Вывод этих законов почти дословно совпадает с традиционным выводом, применяющимся для случая только удерживающих связей. Отличие здесь состоит в использовании формулы Лейбница дифференцирования по частям. В пространстве функций с ограниченным изменением эта формула применима в следующем виде. Если
– абсолютно непрерывная функция, а 
функция ограниченного изменения, то
(2.1)Для краткости мы ограничимся формулировками основных законов. В качестве примера полное доказательство приводится только для теоремы об изменении импульса системы.
Теорема об изменении количества движения. Если удерживающие, и односторонние связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поступательный сдвиг всех точек системы как твердого тела вдоль какого-нибудь направления постоянного во времени, то проекция количества движения системы на это направление является абсолютно непрерывной функцией и скорость ее изменения равна суммарной проекции на это направление вектора активных сил.
Доказательство. Эта теорема непосредственно вытекает из аналогичного утверждения для сводных векторов системы. Введем сводный вектор импульса системы
. Если удерживающие, и односторонние, наложенные на систему, идеальны и допускают поступательный сдвиг всех точек системы как твердого тела вдоль какого-нибудь направления 
постоянного во времени, то проекция вектора импульса на это направление 
является абсолютно непрерывной функцией и скорость ее изменения равна 
, т.е. равна проекции на это направление сводного вектора активных сил.Докажем это. Пусть
– траектория движения системы. Для нее выполнены уравнения Лагранжа первого рода (1.5). Условие теоремы означает, что вектор 
является касательным перемещением во все время движения, т.е., 
всегда и
, 
, 
в точках траектории, расположенных на границе односторонних связей, т.е. в тех точках, в которых сосредоточены соответствующие меры
, 
, 
. Отсюда следует, что во все время движения 
, 
, 
, 
Эти соотношения, понимаются как равенство мер Лебега-Стилтьеса. Домножив обе части (1.5) на
, получаем 
Поскольку
есть функция ограниченного изменения, то 
является абсолютно непрерывной функцией и выполнено 
. Доказательство закончено.Теорема об изменении момента количества движения. Если удерживающие и односторонние связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поворот всех точек системы как твердого тела вокруг какой-нибудь постоянной оси проходящей через начало координат, то момент количества движения системы относительно этой оси является абсолютно непрерывной функцией и скорость его изменения равна суммарной проекции на эту ось векторов моментов активных сил.
3. Уравнения Лагранжа 2-го рода.
Пусть удерживающие связи голономны,
являются обобщенными координатами, и координатные функции 
, 
имеют второй класс гладкости. Тогда траектория движения 
– это абсолютно непрерывная вектор-функция, производная которой 
, является функцией ограниченной вариации.