С. Н. Березинская, О. В. Сорокина, Е. И. Кугушев (стр. 7 из 7)
Дадим формальное описание этой системы. Свяжем с телом систему координат
, начало которой 
совпадает с центром тяжести тела. Будем считать, что канал 
в теле это гладкая кривая, которая задается параметрически 
, 
, 
(9.1)где
– натуральный параметр, длина вдоль кривой . Сама кривая имеет длину 
. Положение тела можно было бы описывать тройкой координат 
, где 
– координаты центра масс тела 
в абсолютной системе, а 
– угол наклона оси 
связанной системы координат по отношению к оси 
абсолютной системы. Однако, мы будем использовать тройку 
, где 
– координаты начала абсолютной системы координат 
в связанной системе. Переход от связанной системы координат к абсолютной производится поворотом на угол 
относительно 
и сдвигом на вектор 
. Поэтому первая и вторая тройки координат связаны соотношениями
(9.2)а их скорости
Обозначим
– центральный момент инерции тела, а его массу 
, для краткости записи, будем считать равной единице 
. По теореме Кенига кинетическая энергия тела 
выражается соотношением
(9.3)или, в координатах
, 
Подставив сюда (9.1) получим лагранжиан системы
где
, 
, 
. И использовано то, что 
– это натуральный параметр и, поэтому, 
. На систему наложено две односторонних связи: 
, и 
(9.4)Координата
является циклической и отделяющейся. Циклический интеграл имеет вид 
Получаем редуцированную систему с функцией Рауса
: 
ограничениями (9.4). Это система с одной степенью свободы. Она интегрируется в квадратурах.
Рассмотрим случай абсолютно упругого удара. Для краткости введем обозначение
, 
Система допускает интеграл энергии
. Положение 
является положением равновесия, если 
, и реакция связи направлена внутрь допустимой области. Несложно убедиться, последнее условие эквивалентно следующему 
.Следуя [15], заключаем, что, если последнее неравенство – строгое, то положение равновесия устойчиво. В этом нетрудно убедится прямо. В самом деле, если
, то при увеличении от нуля величина 
будет уменьшаться, а потенциальная энергия 
будет увеличиваться. После удара о связь скорость будет равна 
В обозначениях предыдущего раздела
, 
, 
поэтому период малых колебаний равен
Все значения берутся при
.Благодарности. Авторы весьма признательны А.П. Иванову, В.В. Козлову, и Д.В. Трещеву за советы и полезные обсуждения данной работы.
1. Панагитопулос П.Д. Неравенства в механике. М., Мир, 1986.
2. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М., МГУ, 1991.
3. Brogliato B. Nonsmooth Impact Mechanics. Springer-Verlag London Limited, 1996.
4. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М., “Международная программа образования”, 1997.
5. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. М., МГУ, 1997.
6. Schmaedeke W.W. Optimal control theory for nonlinear vector differential equations containing measures. SIAM J. Control, 1965, ser. A, vol. 3, N 2, pp. 231 – 280.
7. Buttazzo G., Percivale D. On the approximation of the elastic bounce problem on Riemanian manifolds. Journal of Differential equations, 1983, 47, 227-275.
8. Козлов В.В. Принципы динамики и сервосвязи. Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика. 1989, N 5, с. 59-66.
9. Алексеев В.М. ,Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979.
10. Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Принцип Даламбера-Лагранжа в механических системах с односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002, N 14 .
11. Березинская С.Н., Кугушев Е.И. Об уравнениях движения механических систем с условными односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002 N 16.
12. Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Закономерности движения механических систем с односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002 N 15.
13. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М., МГУ, 2000. [14] Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М., МГУ, 1970.
14. Иванов А.П. Об устойчивости в системах с неудерживающими связями. ПММ, 1984, т. 48, вып. 5, с. 725-732.