Тема общие принципы управления смонтировали систему автоматического управления. Запустили на (стр. 4 из 6)

. (2.4.7)

Это уравнение обычно называют уравнением состояния системы в приращениях от рабочей точки.

Аналогично можно выполнить и линеаризацию функции нескольких переменных. Для примера возьмем характерный вариант уравнения динамики систем с ограниченным количеством производных: F(y,y',y",u,u') = f. Здесь производные по времени u',y',y" также являются переменными. В точке, близкой к номинальному режиму: f = f_н+Df и F = F_н+DF. Разложим функцию F в ряд Тейлора в окрестности точки номинального режима и, отбрасывая члены ряда высоких порядков малости, получим:

.

В номинальном режиме имеем частное решение F_н = f_н, а все частные производные функции F в точке O' представляют собой некоторые постоянные коэффициенты, или переменные во времени, если функция F содержит переменную t в явном виде. Заменяя значения частных производных соответствующими коэффициентами и переходя от приращений переменных к их производным, получаем:

A₀ y'' + A₁ y' + A₂ y = B₀ u' + B₁ u + f.

В данном уравнении используются не абсолютные значения величин y, u, f и их производных по времени, а отклонения этих величин от номинальных значений (уравнение в отклонениях).

В общем случае частные производные представляют собой либо постоянные матрицы зависимости от внешних воздействий f, значения которых могут быть существенно нелинейными, либо матрицы, зависящие только от времени, и полученное уравнение есть либо система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами относительно отклонений y и u, либо система с переменными коэффициентами, которые и решаются относительно выходной величины. Порядок системы уравнений равен n по порядку производной при y.

Для дифференциального уравнения произвольного порядка:

A₀ y⁽ⁿ⁾ + A₁ y^(n-1) + ... + A_n-1 y' + A_n y = B₀ u^(m) + ... + B_m-1 u' + B_m u + f.

Рис. 2.4.3.

К частным производным линеаризованной системы можно применить принцип суперпозиции: реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет звено с двумя входами u и f разложить на два звена, каждое из которых имеет один вход и один выход (рис. 2.4.3). Поэтому в дальнейшем ограничимся изучением поведения систем и звеньев с одним входом, уравнение динамики которых имеет вид:

a₀ y⁽ⁿ⁾ + a₁ y^(n-1) + ... + a_n-1 y' + a_n y = b₀ u^(m) + ... + b_m-1 u' + b_m u. (2.4.7)

где n ≥ m, так как при n < m системы технически нереализуемы. Это уравнение описывает систему в динамическом режиме лишь приближенно с той точностью, которую обеспечивает линеаризация.

Передаточная функция. В теории управления часто используют символическую операторную форму записи дифференциальных уравнений. При этом вводится понятие алгебраизированного оператора дифференцирования p = d/dt так, что, dy/dt = py, а pⁿ = dⁿ /dtⁿ. Это лишь другое сокращенное обозначение операции дифференцирования. Соответственно, операция интегрирования записывается как 1/p. В операторной форме исходное дифференциальное уравнение записывается как алгебраическое:

a₀p⁽ⁿ⁾y+a₁p^(n-1)y+...+a_ny = (a₀p⁽ⁿ⁾+a₁p^(n-1)+...+ a_n)y = (b₀p^(m)+...+b_m-1p+b_m)u.

Не надо путать эту форму записи с операционным исчислением. Здесь используются непосредственно функции y(t), u(t) (оригиналы), а не их изображения Y(p), U(p), получаемые из оригиналов преобразованием Лапласа. При нулевых начальных условиях с точностью до обозначений записи действительно похожи, и некоторые правила операционного исчисления применимы к операторной форме записи уравнений динамики. Так, оператор р можно выносить за скобки и можно рассматривать в качестве сомножителя, но без права перестановки: py ≠ yp. Условно можно считать оператор р алгебраической величиной.

Уравнение динамики в операторной форме:

Дифференциальный оператор W(p) называют передаточной функцией. Она определяет зависимость отношения выходной величины звена к входной во времени: W(p) = y(t)/u(t), т.е. динамический коэффициент усиления. Передаточные функции в операторной форме также представляют собой сокращенную символическую запись дифференциальных уравнений. В установившемся режиме d/dt = 0, p = 0, и передаточная функция превращается в коэффициент передачи звена K = b_m /a_n.

Знаменатель передаточной функции D(p) = a₀pⁿ+a₁p^n-1+a₂p^n-2+...+a_n называют характеристическим полиномом. Его корни, при которых знаменатель D(p) обращается в ноль, а W(p) стремится к бесконечности, называются полюсами передаточной функцией.

Числитель K(p) = b₀p^m+b₁p^m-1+...+b_m называют операторным коэффициентом передачи. Его корни, при K(p) = 0 и W(p) = 0, называются нулями передаточной функции.

Звено системы с известной передаточной функцией называют динамическим звеном. Под динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного оформления, описываемое определенным дифференциальным уравнением. На схемах динамическое звено изображают прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. Для звена с двумя входами и одним выходом (рис. 2.4.3) должны быть записаны передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин. Например, одним из динамических звеньев является интегратор. Его передаточная функция W_и(p) = 1/p. Схема системы, составленная из динамических звеньев, называется структурной.

Элементарные динамические звенья. Динамика большинства функциональных элементов систем независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарными динамическими звеньями. Элементарные динамические звенья имеют один вход и один выход, а передаточная функция элементарного звена задается отношением двух полиномов:

W_э(p) = (b₀p² + b₁p + b₂) / (a₀p² + a₁p + a₂).

Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители:

D(p) = a₀p⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) +...+a_n = a₀ (p-p₁) (p-p₂)...(p-p_n),

где p₁, p₂, ... , p_n - корни полинома D(p). Аналогично:

K(p) = b₀p^(m)+...+ b_m-1p+b_m = b₀ (p-p^~₁) (p-p^~₂)...(p-p^~_m),

где p^~₁, p^~₂, ... , p^~_m - нули полинома K(p). Отсюда:

Корни любого полинома могут быть либо вещественными, либо комплексными попарно сопряженными. Пара комплексно сопряженных корней соответствует полиному второй степени. Передаточную функцию линеаризованной системы можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев:

W = K W₁ W₂ W₃ … ,

где К=b₀/a₀ – множитель, которым может регулироваться общая чувствительность системы к управляющим или дестабилизирующим воздействиям. Каждому такому звену в системе, как правило, соответствует отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамике системы в целом.

Классификация звеньев производится по виду их дифференциальных уравнений и соответствующих передаточных функций, независимо от исполнения (механические, гидравлические, электрические и пр.). Передаточные функции типовых звеньев, из которых синтезируются системы, обычно имеют числитель или знаменатель, равный единице.

2.5. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ [7].

Преобразования структурных схем. Структурная схема системы в простейшем случае строится из элементарных динамических звеньев. Несколько элементарных звеньев могут быть заменены одним звеном со сложной передаточной функцией. Для этого существуют правила эквивалентного преобразования структурных схем.

Последовательное соединение (рис. 2.5.1) - выходная величина предшествующего звена подается на вход последующего. При этом можно записать:

Рис. 2.5.1.

y₁ = W₁ y₀; y₂ = W₂ y₁; ... ; y_n = W_n y_n-1,

y_n = W₁ W₂ ...W_n y₀ = W_экв y₀.

W_экв =

W_i.

Рис. 2.5.2.

Передаточные функции последовательно соединенных звеньев перемножаются.

Параллельное соединение (рис.2.5.2) - на вход каждого звена подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы складываются: