Тема математические модели дискретных систем управления мы редко до конца понимаем, чего действительно хотим (стр. 4 из 5)
Построение дискретного представления непрерывной системы носит название процесса дискретизации, или квантования, непрерывной системы. Пусть непрерывная система представлена своей внешней моделью:
А0 y(n)(t) + А1 y(n-1)(t) + А2 y(n-2)(t) + … + Аn y(t) = u(t). (6.3.1)
При достаточно малом шаге квантования дискретизацию этой модели можно выполнить с необходимой точностью путем замены дифференциалов конечными разностями:
y'(t) = dy(tk)/dt = Dy(tk)/Dt = Dt-1 (y(tk+1) – y(tk)),
y"(t) = d2y(tk)/d2t = D2y(tk)/D2t = Dt-1 (Dy(tk+1) – Dy(tk)) = Dt-2 (y(tk+2) – 2y(tk+1) + y(tk)),
… и т.д.
После подстановки в (6.3.1) дискретная внешняя модель системы принимает конечно-разностный вид, который после алгебраических преобразований переводится в рекуррентную форму с постоянными коэффициентами модели ai:
a0 y(k+n) + a1 y(k+n-1) + a2 y(k+n-2) + … + an y(k) = u(k), (6.3.2)
В общем случае функция u(k) также может представлять собой полином:
a0 y(k+n) + a1 y(k+n-1) +…+ an y(k) = b1 u(k+n-1) +…+ bn u(k). (6.3.3)
Движение дискретной модели, представленной в разностном виде, складывается из двух движений: собственного и вынужденного под действием внешнего возмущения. Собственное движение - решение однородного разностного уравнения системы. Общий вид этого решения определяется как линейная форма от собственных чисел системы:
y(k) = C1 l1k + C2 l2k + … + Cn lnk, (6.3.4)
где Сi - коэффициенты линейной формы, которые вычисляются через начальные состояния системы; li - простые действительные корни характеристического уравнения системы:
a0 ln + a1 ln-1 + a2 ln-2 + … + an = 0. (6.3.5)
Пример. Непрерывная система описывается дифференциальным уравнением:
y"(t) + 5у'(t) + 6у(t) = u(t); у(0) = 1 ; у'(0) = 0,5.
Выполним с шагом квантования Dt = 0,1 разностную дискретизацию уравнения:
100(у(k+2) – 2y(k+1) + y(k)) + 50(y(k+1) – y(k)) + 6y(k) = u(k).
После преобразований получим искомую дискретную модель в рекуррентном виде:
у(k+2) – 1.5 у(k+1) + 0,56 у(k) = 0,01 u(k).
Характеристическое уравнение системы:
l2 - 1.5 l + 0.56 = 0.
Корни уравнения: l1 = 0.8, l2 = 0.7. Соответственно, собственное движение модели:
у(k) = С0 0.8k + C1 0.7k.
Постоянные С0, С1 найдем, используя координаты начального состояния системы:
у(0) =С0 + С1 = 1; у(1) = C0 0.8 + C1 0.7.
Значение у(1) определим, используя первую разность:
у'(0) = 10 (y(1)-y(0)) = 0.5. y(1) = 1.05
Отсюда: С0 = 3.5, С1 = -2.5. y(k) = 3.5 0.8k – 2.5 0.7k.
Операторная форма модели (6.3.3) может быть получена введением в рассмотрение оператора сдвига z:
zi y(k) = y(k+i). (6.3.6)
При этом уравнение (6.3.3) легко преобразуется к виду
a(z) y(k) = b(z) u(k), (6.3.7)
a(z) = zn + a1zn-1 + ... + an-1z + an, (6.3.8)
b(z) = b1zn-1 + ... + bn-1z + bn. (6.3.9)
Оператор a(z) называется характеристическим полиномом системы (6.3.3), а комплексные числа zi, i = (1, n) - корни характеристического уравнения a(z)=0, называются полюсами системы. Корни алгебраического уравнения b(z) = 0 называются нулями системы.
Из выражения (6.3.7) следует операторное уравнение связи переменных y(k) и u(k) и оператор передаточной функции дискретной системы:
y(k) = W(z)u(k), (6.3.10)
W(z) = b(z)/a(z). (6.3.11)
Возмущающее воздействие f(k) влияния на объект управления внешней среды рассматривается как дополнительный входной сигнал, при этом линейная модель дискретной системы принимает вид:
a0 y(k+n) + a1 y(k+n-1) +…+ an y(k) =
= b1 u(k+n-1) +…+ bn u(k) + d1 f(k+n-1) +…+ dn f(k). (6.3.12)
где di - коэффициенты, определяющие влияние на процессы в системе возмущения f(k). После соответствующих преобразований получаем операторную форму модели (6.3.12):
a(z) y(k) = b(z) u(k) + d(z) f(k). (6.3.13)
d(z) = d1zn-1 + ... + dn-1z + dn. (6.3.14)
y(k) = W(z)u(k) + Wf(z) f(k), (6.3.15)
Wf(z) = d(z)/a(z). (6.3.16)
Wf(z) - передаточная функция системы по возмущающему воздействию f(k).
Решение разностных уравнений. Форма (6.3.3) представления моделей дает простой путь для получения рекуррентного решения, т. е. процедуры нахождения текущих значений y(k) по известным значениям функций у и u в предшествующие моменты дискретного времени k. Подставляя в разностное уравнение k+n=k (или n= 0) запишем:
y(k) = -a1y(k-l) -...- any(k) + b1u(k-l) + b2 u(k-2) + ... + bnu(0). (6.3.17)
В общем случае, аналитическое решение уравнения (6.3.3):
y(k) = yсв(k) + yв(k). (6.3.18)
Выражение содержит вынужденную составляющую yв(k), соответствующую реакции системы на входное воздействие u(k), и свободную составляющую yсв(k), соответствующую решениям однородного разностного уравнения (автономной дискретной системы):
a0 y(k+n) + a1 y(k+n-1) +…+ an y(k) = 0 (6.3.19)
при начальных условиях y(0), у(-1), . . . , у(-n+1).
Поведение системы и свободная составляющая переходного процесса зависят от полюсов системы zi, которые в общем случае представлены комплексно-сопряженными парами:
zi,i+1= ai ∓ jbi, zi,i+1= Mi exp(∓ jji), Mi =| zi,i+1|, ji = arg zi,i+1. (6.3.20)
yсв(k) = C1 z1k + C2 z2k + … + Cn znk, (6.3.21)
где Ci - неопределенные коэффициенты, зависящие от начальных условий.
Вещественному неотрицательному корню, для которого ai > 0, bi = 0, a ji = 0, соответствует апериодическая составляющая переходного процесса (мода) y(k) = Ci Mik, а вещественному отрицательному корню, для которого ai < 0, bi = 0, a ji = p, - колебательная мода y(k) = Ci Mik cos kp.
Парам комплексно-сопряженных корней характеристического полинома zi,i+1= ai ∓ jbi, соответствуют колебательные составляющие
yi,i+1= Ai Mik cos (kji-ji),
где Ai, ji - параметры, зависящие от начальных условий. Если при некоторых начальных значениях имеет место тождество
ycв(k) = y* = const, k ≥ 0,
то значение у = у* называется положением равновесия системы.
Вынужденная составляющая переходного процесса определяется входным воздействием u(k). Наиболее распространенными входными сигналами дискретных систем являются единичная импульсная последовательность и дельта-функция Кронекера.
Установившийся режим. Рассмотрим поведение модели системы при постоянном входном воздействии u(k) = const и установившуюся составляющую переходного процесса у = уу = const. В установившемся (статическом) режиме для любых i≥0 выполняется yy(k+i) = уу и u(k+i) = u(k), из выражения (6.3.3) находим статическую характеристику дискретной системы:
yy = (b1+…+bn )u(k) /(1+a1+…+ an) = Ku, (6.3.22)
где K - статический коэффициент. Условием существования статической характеристики является 1+a1+…+ an ≠ 0. Система, удовлетворяющая этому условию, называется статической.
Сопоставляя (6.3.22) и (6.3.10), найдем
(b1+…+bn) /(1+a1+…+ an) = W(1) = b(1)/a(1).
Следовательно, W(1) = K, и в статическом режиме система описывается уравнением:
уу = W(1)u.
Элементарные звенья дискретных систем. В качестве элементарных звеньев выделим простейшие блоки дискретной системы, описывающиеся разностными уравнения 1-2-го порядков и удовлетворяющие условию
|zi| = |li{A}| ≤ 1. (6.3.23)
Элементарные звенья 1-го порядка задаются уравнениями
y(k+1) + ay(k) = bu(k). (6.3.24)
Передаточная функция звена и полюс:
W(z) = b/(z+a), z1 = -a. (6.3.25)
Решение уравнения (6.3.24):
y(k) = ycв(k) + yв(k) = (-a)k y0 + b
(-a)k-i-1 u(i). (6.3.26)При b = 1 и a = 0 получаем звено чистого запаздывания (элемент задержки):
y(k+1) = u(k), W(z) = 1/z. (6.3.27)
При а = -1 получаем суммирующее звено (дискретный интегратор):
y(k+1) = y(k) + bu(k), W(z) = b/(z-1). (6.3.28)
Уравнение является дискретным аналогом интегрирующего звена и имеет решение
y(k) = y(0) + b
u(i). (6.3.29)Проанализируем свободные составляющие переходных процессов звеньев первого порядка для различных значений параметра а (различных значений полюсов zi = -a). Для этого рассмотрим автономную систему
y(k+1) + ay(k) = 0, y0 = y(0). (6.3.30)
Решение уравнения:
y(k) = (-a)k y0, (6.3.31)
 Рис. 6.3.1. |
Различные реализации функции при y0 = 1 приведены на рис. 6.3.1.
При z1 = a = 0 получаем y(k) = 0, k>0, т. е. из произвольного начального положения у0 процесс сходится к нулевому (равновесному состоянию) за один шаг.