ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
Тема 6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Мы редко до конца понимаем, чего действительно хотим.
Франсуа де Ларошфуко. Французский писатель моралист. 1613-80 г.
Потому и пытаемся научить компьютеры понимать нас по весьма туманным и сумбурным намекам. Когда научим, останемся без работы. Только раскрыл рот, а компьютер уже выдает, что ты хотел сказать. Причем, логически стройно, синтаксически грамотно и без орфографических ошибок.
Валентин Ровинский. Украинский геофизик Уральской школы, ХХ в.
Содержание
Введение.
1. Основные понятия. Основные термины математического моделирования. Построение моделей. Виды моделей. Имитационные системы. Методология моделирования.
2. Математическое описание систем дискретного управления. Решетчатые функции. Теорема Котельникова-Шеннона. Разностные уравнения. Дискретизация автономных систем. Дискретное z-преобразование. Преобразование непрерывного сигнала в цифровой код. Цифровое вычислительное устройство. Передаточные функции ЦВУ. Частотные характеристики ЦВУ.
3. Модели состояния линейной дискретной системы. Математические модели дискретных систем. Построение дискретного представления непрерывной системы. Операторная форма модели. Решение разностных уравнений. Установившийся режим. Элементарные звенья дискретных систем. Элементарные звенья 1-го порядка. Элементарные звенья 2-го порядка. Устойчивость дискретных систем. Качество дискретных систем управления.
Введение
Системы, в структуре которых используются контроллеры, микропроцессоры, ЭВМ и прочие цифровые устройства, относятся к категории дискретных систем. Дискретные системы отличаются от непрерывных тем, что среди сигналов, действующих в системе, имеются сигналы, дискретные по своей физической природе или полученные из непрерывных квантованием по уровню, по времени, или одновременно по уровню и по времени. Сигналы, квантованные по уровню, имеют место в релейных системах, квантованные по времени - в импульсных системах. Цифровыми называют системы, в которых действуют сигналы, квантованные и по времени, и по уровню, т.е. в виде цифровых кодов.
Классическим примером дискретных автоматических систем являются системы, использующие в контуре управления цифровые регуляторы. Непрерывный сигнал рассогласования, поступающий на вход регулятора, преобразуется в последовательность импульсов цифрового кода сигнала ошибки. Эта последовательность преобразуется в соответствии с законом регулирования в другую последовательность импульсов, которые цифроаналоговым устройством преобразуются в выходной непрерывный сигнал регулятора.
6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [4].
Основные термины математического моделирования. Уточним определения основных терминов математических моделей:
- компоненты системы, которые могут быть вычленены из нее и рассмотрены отдельно;
- независимые переменные, это внешние величины, которые могут изменяться и не зависят от процессов в системе;
- зависимые переменные, значения этих переменных есть результат воздействия на систему независимых внешних переменных;
- управляемые переменные, значения которых могут изменяться пользователем;
- эндогенные переменные, их значения определяются в ходе деятельности внутренних компонент системы;
- экзогенные переменные определяются пользователем и действуют на систему извне.
Построение моделей. При построении любой модели процесса управления желательно придерживаться следующего плана действий:
1) Сформулировать цели изучения системы.
2) Установить наиболее существенные для данной задачи факторы, компоненты и переменные.
3) Учесть тем или иным способом посторонние, не включенные в модель факторы.
4) Осуществить оценку результатов, проверку модели, оценку полноты модели.
Виды моделей. Модели можно делить на следующие виды:
1) Функциональные модели - выражают прямые зависимости между эндогенными и экзогенными переменными.
2) Модели, выраженные с помощью систем уравнений относительно эндогенных величин.
3) Модели оптимизационного типа. Основная часть модели - система уравнений относительно эндогенных переменных. Цель - найти оптимальное решение для некоторого показателя.
4) Имитационные модели - весьма точное отображение процесса или явления. Математические уравнения при этом могут содержать сложные, нелинейные, стохастические зависимости.
С другой стороны, модели можно делить на управляемые и прогнозные. Управляемые модели отвечают на вопрос: “Что будет, если ...?”; “Как достичь желаемого?”, и содержат три группы переменных:
1) переменные, характеризующие текущее состояние объекта;
2) управляющие воздействия - переменные, влияющие на изменение этого состояния и поддающиеся целенаправленному выбору;
3) исходные данные и внешние воздействия, т.е. параметры, задаваемые извне, и начальные параметры.
В прогнозных моделях управление не выделено явно. Они отвечают на вопросы: “Что будет, если все останется по-старому?”
Модели можно делить по способу измерения времени на непрерывные и дискретные. В любом случае, если в модели присутствует время, то модель называется динамической. Чаще всего в моделях используется дискретное время, т.к. информация поступает дискретно. Но с формальной точки зрения непрерывная модель может оказаться более простой для изучения.
Имитационные системы занимают в моделировании особое место. В принципе, любая модель имитационная, ибо она имитирует реальность. Основа имитации - это математическая модель. Имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты. Таким образом, под имитацией понимается численный метод проведения машинных экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени, при этом имитационный эксперимент состоит из следующих шести этапов:
1) формулировка задачи,
2) построение математической модели,
3) составление программы для ЭВМ,
4) оценка пригодности модели,
5) планирование эксперимента,
6) обработка результатов эксперимента.
Математические методы управления можно разделить на несколько групп:
- методы оптимизации;
- методы, учитывающие неопределенность, вероятностно-статистические методы;
- методы построения и анализа имитационных моделей;
- методы анализа конфликтных ситуаций.
Методология моделирования. Моделирование процессов управления предполагает последовательное осуществление трех этапов исследования. Первый - от исходной практической проблемы до теоретической математической задачи. Второй – математическое изучение и решение этой задачи. Третий – переход от математических выводов обратно к практической проблеме.
Задача исследований, как правило, порождена потребностями той или иной прикладной области, при этом выполняется какая-либо математическая формализация реальной ситуации.
Выделение перечня задач находится вне математики, он является сутью технического задания, которое специалисты различных областей деятельности дают специалистам по математическому моделированию.
Методологический анализ открывает этап моделирования процессов управления. Он определяет исходные постановки для теоретической проработки. Анализ динамики развития методов моделирования позволяет выделить наиболее перспективные методы.
Метод исследований, используемый в рамках определенной математической модели - это уже во многом дело математиков. В эконометрических моделях речь идет, например, о методе оценивания, о методе проверки гипотезы, о методе доказательства той или иной теоремы, и т.д. В первых двух случаях алгоритмы разрабатываются и исследуются математиками, но используются прикладниками, в то время как метод доказательства касается лишь самих математиков.
Для решения той или иной задачи в рамках принятой исследователем модели может быть предложено много методов. В настоящее время для решения практически важных задач могут быть использованы современные информационные технологии на основе метода статистических испытаний и соответствующих датчиков псевдослучайных чисел. Они уже заметно потеснили асимптотические методы математической статистики.
Условия применимости - последний элемент. Он полностью математический. С точки зрения математика замена условия кусочной дифференцируемости некоторой функции на условие ее непрерывности может представляться существенным научным достижением, в то время как прикладник оценить это достижение не сможет. Для него непрерывные функции мало отличаются от кусочно-дифференцируемых.
6.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ ДИСКРЕТНОГО УПРАВЛЕНИЯ [1, 11, 12]
Дискретно представляемые сигналы описываются функциями дискретной переменной. Для описания дискретных систем используются решетчатые функции и разностные уравнения. Решетчатые функции являются аналогами непрерывных функций, описывающих непрерывные системы, а разностные уравнения являются аналогами дифференциальных уравнений.
Решетчатой функцией называется функция, получающаяся в результате замены непрерывной переменной на дискретную независимую переменную, определенную в дискретные моменты времени kТ, k = 0, 1, 2, … Непрерывной функции x(t) соответствует решетчатая функция х(kТ), где Т – период квантования, при этом непрерывная функция является огибающей решетчатой функции. При заданном значении периода квантования Т непрерывной функции x(t) соответствует однозначная решетчатая функция х(kТ). Однако обратного однозначного соответствия между решетчатой и непрерывной функцией не существует, так как через ординаты решетчатой функции можно провести множество огибающих.