вданной работе описывается применение рядов Вольтера для анализа схем, содержащих устройства со слабой нелинейностью. Работа исследует и доказывает рациональность метода (стр. 2 из 4)
2f = f + f , (2.4)
то есть, сигнал как бы смешивается сам с собой.
Рис. 2.1. Нелинейный резистор может быть представлен как линейный, соединенный параллельно с двумя "нелинейными" источниками тока. Параметры этих источником могут быть выбраны таким образом, чтобы каждый определял один порядок и зависел от напряжений низших порядков
Наиболее общая реализация анализа на основе рядов Вольтерра базируется на так называемом методе нелинейных токов. При этом подходе, каждый нелинейный элемент схемы преобразуется в линейный элемент с множеством параллельно включённых источников тока. Рассмотрим, например, эквивалентную схему нелинейного резистора, изображённую на рис. 2.1. Нелинейные свойства элемента полностью определяются дополнительными источниками тока. Ток очередного порядка нелинейности определяется напряжением на элементе при учёте всех нелинейностей меньшего порядка, так что все токи рассчитываются через рекуррентные соотношения. Сначала рассчитывается напряжение элемента первого порядка, затем ток второго порядка. После этого в качестве сигнала возбуждения на схему подаётся ток второго порядка, и получается напряжение элемента второго порядка. Ток третьего порядка получается из напряжений первого и второго порядков, и этот процесс повторяется, пока не будут получены продукты преобразования всех интересующих порядков. Предположим, например, что нам необходимо рассчитать продукт преобразования, получаемый по формуле 2f2 – f1. Вполне очевидно, что схема должна сначала быть проанализирована на частотах f1 и f2. Затем программа моделирования анализирует схему на частотах продуктов второго порядка, 2f2 и f2 – f1. Наконец, она получает все части, необходимые для расчёта интересующего нас продукта преобразования третьего порядка 2f2 – f1. В итоге, получается решение на нужной нам частоте, а также линейные характеристики и пара продуктов преобразования второго порядка, выступающих как побочные.
При анализе на основе рядов Вольтерра моделируемая схема описывается как комбинация линейных и нелинейных элементов. Линейные элементы описываются обычным образом: резисторы, конденсаторы, линии передачи и так далее. Нелинейные элементы описываются разложением в ряд Тейлора их вольтамперной (I/V) или кулонвольтной (Q/V) характеристик. Например, нелинейный резистор, имеющий вольтамперную характеристику:
I = fR(V), (2.5)
описывается разложением в ряд Тейлора вблизи рабочей точки смещения (V0, I0):
, (2.6)где i — ток, а v — напряжение в режиме малого сигнала.
Нас интересуют только малосигнальные значения v и i, а производные в любой точке представляют собой не что иное как константы. Поэтому, в определённой точке смещения ряд (2.6) может быть написан в виде:
i = g1v + g2v2 + g3v3 + ... (2.7)
Заметим, что g1 = 1/R, где R — линейное сопротивление в рабочей точке смещения в малосигнальном режиме.
Разложение в ряд Тейлора имеет силу только для небольших отклонений от его центрального параметра, так что выражение (2.7) для тока в малосигнальном режиме верно только когда v << V0 и i << I0. Это требование является фундаментальным ограничением метода анализа на основе рядов Вольтерра: он работает только когда входной сигнал мал настолько, что значения производных вольтамперной характеристики остаются постоянными при соответствующем отклонении постоянного напряжения и тока от рабочей точки смещения. Мы говорим, что такой элемент схемы имеет слабую нелинейность, то есть нелинейность должна быть слаба, а входное воздействие мало настолько, что возможно представление вольтамперной или кулонвольтной характеристики элемента в виде разложения в ряд Тейлора1).
На практике это означает, что уровень входного сигнала должен быть таким, чтобы анализируемый элемент работал значительно ниже его точки насыщения. По этой причине, анализ на основе рядов Вольтерра не подходит для анализа смесителей, умножителей частоты, усилителей мощности, работающих в режиме насыщения, и других подобных им устройств. Тем не менее, он идеально подходит для анализа интермодуляционных искажений в малосигнальных усилителях, электронных коммутаторах, фазовращателях, аттенюаторах и подобных им схемах.
3. ДЕТАЛИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим нелинейную систему, описываемую дифференциальным уравнением общего вида, моделирующим широкий класс систем и объектов:
L[ y(t)] + D( y, y', y'', …, y(n)) = x(t) , (3.1)
где: x(t) – воздействие на систему;
y(t) – реакция системы;
L[ y(t)] – линейный оператор;
D( y, y', y'',…, y(n)) – нелинейная, гладкая, дифференцируемая функция.
предполагается, что D(.) не содержит линейные члены, они учтены в L[.].
Сформулируем и докажем теорему, позволяющую детализировать структуру системы, описываемой дифференциальным уравнением (3.1).
Теорема. Ядра ряда Вольтерра системы, описываемой уравнением (3.1), можно представить в виде:
W1(s) = L-1(s) (3.2)
, (3.3)где: L-1(s) = W(s) – оператор, обратный оператору L(s), передаточная функция линейной части системы.
Доказательство: В соответствии со схемой рис.1.1 представим реакцию системы в виде:
y(t) = y1 + y2 + y3 + ... , (3.4)
здесь: y1 = y1(t) – реакция линейной части системы;
y2 = y2(t) – реакция нелинейного элемента второго порядка и т.д.
Разложим в кратный ряд Тейлора функцию D( y, y', y'', …, y(n)):
, (3.5)где коэффициенты в суммах находятся дифференцированием D(.) по соответствующим аргументам.
Подставим компоненты решения (3.4) в (3.5), а результат в (3.1). Для определения первого ядра приравняем в полученном уравнении члены первого порядка:
L[ y1] = x(t) . (3.6)
Отсюда
y1(t) = L-1[x(t)] , (3.7)
или, в операторной форме:
Y1(s) = L-1(s) X(s) = W(s) X(s) . (3.8)
Поэтому, изображение первого ядра, т.е. передаточная функция линейной части системы, будет равно:
W1(s) = W(s) = L-1(s) . (3.9)
Сгруппируем и приравняем в члены второго порядка:
. (3.10)Поскольку Y1(s) = L-1(s) X(s), а по теореме о последовательном соединении нелинейной и линейной частей [2, 4, 6] (см. приложение) изображение результата действия линейного оператора на компоненту решения второго порядка имеет вид:
L[ y2] ® L(s1 + s2) Y2(s1, s2) , (3.11)
то
. (3.12)Y2(s1, s2) = L-1(s1) L-1(s2) G2(s1, s2) L-1(s1 + s2) X(s1) X(s2) , (3.13)
где
. (3.14)Из (2.13) и (2.14) следует
W2(s1, s2) = L-1(s1) L-1(s2) G2(s1, s2) L-1(s1 + s2) , (3.15)
или, в других обозначениях:
W2(s1, s2) = W1(s1) W1(s2) G2(s1, s2) W1(s1 + s2) . (3.16)
Изображение G2(s1, s2) инерционно-нелинейной компоненты можно назвать ядрышком второго порядка.
Из (3.16) следует, что структурную схему ветви второго порядка системы, описываемой (3.1), можно представить в виде:
Рис. 3.1. Структура модели нелинейной компоненты второго порядка, порождаемой уравнением (3.1). Ядро дважды осуществляет линейное преобразование: до нелинейного и после него
Т.о. составляющая второго порядка выходного сигнала обязательно является результатом линейного преобразования выходного сигнала ядрышка G2(s1, s2).
Двумерная передаточная функция G2(s2, s1), совершающая нелинейное преобразование второго порядка, определяется частными производными второго порядка функции D(.) и операциями дифференцирования – см. (3.5) и (3.14).
Далее доказательство проведем по индукции.
Пусть передаточная функция k-1 порядка для k > 2 имеет вид:
. (3.17)Группируя и приравнивая члены k-го порядка, получим:
. (3.18)В (3.18) берется сумма всех тех произведений компонент решения (6) и их производных, сумма нижних индексов которых равна r1 + r2 + … + rr = k. Индексы r1, r2, …, rr могут принимать значения от 1 до (k-1). Значения индексов j1, j2, …, jr (степеней производных) меняются от 0 до n каждое. Поскольку по условию задачи разложение D( y, y', y'', …, y(n)) начинается с членов второго порядка (3.4), то в произведениях суммы уравнения (3.18) присутствуют лишь отклики yi(j) с порядком, меньшим k (i < k). Это значит, что k-я компонента решения yk выражается из (3.18) только через младшие компоненты.
Сгруппируем компоненты k-й степени с учетом того, что изображения младших ядер отвечают (3.17):
(3.19)Поскольку каждая передаточная функция вида Wrm(sr(m-1)+1, sr(m-1)+2, …, srm) содержит в соответствии с (3.17) в качестве сомножителя произведение
и сумма индексов r1 + r2 + … + r(m-1) + rm + ... + rr равна k, то каждое слагаемое суммы в (3.19) содержит произведения 
и 
которые могут быть вынесены за скобки. Поэтому