вданной работе описывается применение рядов Вольтера для анализа схем, содержащих устройства со слабой нелинейностью. Работа исследует и доказывает рациональность метода (стр. 3 из 4)
, (3.20)где:
(3.21)Наконец, из (3.20) видно, что
. (3.22)Теорема доказана.
Рис. 3.2. Структура изображения ядра n-го порядка
Как видно на рис. 3, алгоритм преобразования сигнала компонентой схемы n-го порядка состоит в том, что вначале входной сигнал фильтруется линейной частью системы, затем следует нелинейное инерционное преобразование, продукты которого вновь фильтруются линейной частью. Нелинейное инерционное преобразование определяется (3.21) и состоит из комбинации безинерционных операций возведения в степень и перемножения сигналов, прогнозирующей операции дифференцирования и инерционной операции линейного преобразования сигнала, определяемой переходной функцией линейной части системы.
Из доказанной теоремы следует, что схема рис. 1.1 может быть детализирована следующим образом:
Рис. 3.3. Детализация структуры системы, описываемой уравнением (3.1). Выходной сигнал является результатом фильтрации линейной частью системы как входного сигнала, так и продуктов его нелинейного преобразования. На инерционную нелинейность входной сигнал системы поступает после предварительной его фильтрации линейной частью системы
4. ПРИМЕР АНАЛИЗА МЕТОДОМ РЯДОВ ВОЛЬТЕРРА
На рис. 4.1 показан малосигнальный однокаскадный усилитель диапазона 7–11 ГГц, состоящий из одного полевого транзистора (FET) и типовых прототипов согласования на сосредоточенных элементах. Модель полевого транзистора FET состоит из линейной эквивалентной схемы и одного нелинейного управляемого источника тока, чего, как правило, достаточно для правильного моделирования обычного полевого транзистора с барьером Шоттки (MESFET) для анализа методом рядов Вольтерра.
Рис. 4.1. Анализ данного усилителя проводился методом рядов Вольтерра. Практически все элементы эквивалентных согласующих цепей были реализованы как распределенные
На рис. 4.2 показаны частотные зависимости усиления и уровня интермодуляционных составляющих третьего порядка. Расчёт методом рядов Вольтерра проводится настолько быстро, что стало возможным настраивать схему в режиме реального времени, выполняя при этом нелинейный анализ. В результате, нелинейная схема может быть оптимизирована вручную или с помощью автоматического оптимизатора почти так же быстро, как и линейная.
Рис. 4.2. Рассчитанные зависимости уровней мощности основной (D), второй и 2f2 - f1 гармоник сигнала на выходе СВЧ усилителя в диапазоне 7-11 ГГц при уровне входного сигнала -20дБм
На рис. 4.3 показан усилитель бегущей волны на четырёх полевых транзисторах. Здесь также рассчитывались усиление и уровни интермодуляционных составляющих (рис. 4.4). Настройка этого усилителя в режиме реального времени возможна и при большем числе транзисторов.
Рис. 4.3. Усилитель бегущей волны диапазона 1-12 ГГц на четырех полевых транзисторах. Стоковые конденсаторы выравнивают фазовую скорость в затворной и токовой цепях, что позволяет значительно расширить полосу пропускания усилителяМетод анализа на основе рядов Вольтерра применим и к пассивным устройствам. На рис. 4.6 показан варакторный преселектор метрового диапазона. Рассчитанные характеристики изображены на рис. 4.5. Перестройка преселектора осуществляется изменением напряжения смещения на варакторных диодах. Следует отметить, что худший уровень интермодуляционных составляющих третьего порядка получается в области нижних частот, где варактор смещается в область большей нелинейности его кулонвольтной (Q/V) характеристики.
Рис. 4.4. Рассчитанные зависимости уровней мощности основной, второй и 2f2 - f1 гармоник сигнала на выходе СВЧ усилителя бегущей волны в диапазоне 1-12 ГГц при уровне входного сигнала -20 дБм
Рис. 4.5. Рассчитанные зависимости уровней мощности основной, второй и 2f2 - f1 гармоник сигнала на выходе варакторного перестраиваемого фильтра метрового диапазона при уровне входного сигнала -20 дБм
Также интересен тот факт, что зависимости уровней интермодуляционных составляющих являются плоскими по сравнению с передачей по основной гармонике. Если учесть, что данный преселектор используется для подавления внеполосных сигналов, то мощный мешающий сигнал может стать серьёзным источником искажений, возникающих в нём самом.
Рис. 4.6. Варакторный перестраиваемый фильтр метрового диапазона
5.ПРИМЕР МОДЕЛИ УМНОЖИТЕЛЯ ЧАСТОТЫ
Рассмотрим упрощенную схему умножителя частоты на нелинейной емкости и определим структуру ее модели и выражения для передаточных функций.
Рис. 5.1. Схема умножителя частоты
Схема рис. 5.1. описывается уравнением:
, (5.1)здесь:
. (5.2)Представим напряжение на конденсаторе в виде u = u1 + u2 + u3 + … и подставим в (5.1) и в (5.2):
(5.3)Приравняем члены первого порядка:
RC0 u'1 + u1 = uвх . (5.4)
Линейное уравнение первой степени приводит, естественно, к передаточной функции апериодического звена:
, (5.5)где: Т = RC0.
Выберем члены второго порядка, учитывая, что справа в (5.3) они отсутствуют:
RC0 u'2 + RC1 u'1 u1 + u2 = 0 . (5.6)
Отсюда, применяя преобразование Лапласа:
(s1 + s2) RC0 U2(s1, s2) + RC1 U1(s1) s2 U1(s2) + U2(s1, s2) = 0 , (5.7)
что приводит к
. (5.8)Поскольку U2(s1, s2) = W2(s1, s2) Uвх(s1) Uвх(s2), U1(s) = W1(s) Uвх(s) и
(т.е. 2s2 W(s1) W(s2) = 2s1 W(s1) W(s2) = (s1+s2) W(s1) W(s2) ),То
W2(s1, s2) = (s1 + s2) W1(s2) W2(s2) G2(s1, s2) W1(s1 + s2) , (5.9)
Где
G2(s1, s2) = -0,5 RC1 . (5.10)
Аналогично, преобразованием уравнения для членов третьего порядка, находится передаточная функция третьей степени. Получаем:
, (5.11)где:
. (5.12)Анализ полученных ядер позволяет построить структурно-алгоритмическую модель умножителя.
Рис. 5.2. Структура модели умножителя частоты
Как видно на рис. 5.2, ряд Вольтерра представляет инерционную нелинейность в виде отдельных операций возведения в степень, перемножения сигналов, умножения сигналов на коэффициент и инерционной операции, определяемой линейной частью системы, а также операции дифференцирования.
Рис. 5.3. Выходной сигнал умножителя содержит вторую гармонику. Она получена преобразованием входного гармонического сигнала компонентой схемы с передаточной функцией второго порядка
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Детализация структуры нелинейной системы, описываемой уравнением (3.1) позволяет наглядно представить преобразование сигналов. Инерционная нелинейность моделируется отдельными безинерционными операциями возведения в степень, перемножения сигналов, умножения сигналов на коэффициент и инерционной операции, определяемой линейной частью системы, а также операциями дифференцирования.
Многомерные передаточные функции, описывающие поведение и свойства нелинейных инерционных систем и объектов являются естественным обобщением одномерных передаточных функций, эффективно применяемых для описания и анализа линейных систем. Можно ожидать, что развитие методов анализа многомерных передаточных функций нелинейных систем позволит сделать более эффективными анализ и синтез систем с мягкими нелинейностями, а также включить аппарат рядов Вольтерра в качестве одного из инструментов моделирующих программ.Анализ на основе рядов Вольтерра может применяться для схем, содержащих устройства со слабой нелинейностью. Современные программы моделирования электронных схем могут объединять такой метод с анализом шумов и линейных схем, что позволит настраивать даже достаточно сложные схемы практически в реальном масштабе времени. Благодаря своей совместимости с другими методами анализа, метод рядов Вольтерра должен стать неотъемлемой частью всех современных программ моделирования электронныхсхем.