вданной работе описывается применение рядов Вольтера для анализа схем, содержащих устройства со слабой нелинейностью. Работа исследует и доказывает рациональность метода (стр. 1 из 4)
Белорусский Государственный Университет
Информатики и Радиоэлектроники
Республиканский конкур научных работ студентов высших учебных заведений Республики Беларусь по гуманитарным, естественным и техническим наукам
Девиз: «Точность и Рациональность»
Работа на тему:
Применение рядов Вольтера для анализа нелинейных схем,
применяемых в обработке сигналов
Научная секция:
Радиотехника и связь, вычислительная, цифровая и микропроцессорная техника, приборостроение, СВЧ-электроника
Автор:
Мельниченко Сергей Игоревич
студент I курса
Научный руководитель:
Леонович Анатолий Александрович,
доцент, канд. физ.-мат. наук
Минск 2004
РЕФЕРАТ
В данной работе описывается применение рядов Вольтера для анализа схем, содержащих устройства со слабой нелинейностью. Работа исследует и доказывает рациональность метода.
Результаты данной работы могут применяться в разработке различных приборов и устройств, которые используются для обработки ВЧ и СВЧ сигналов.
В работе представлены теоретические обоснования метода, а также примеры анализа с использованием данного метода.
Работа представлена на 20 страницах, содержит 16 иллюстраций, графиков и схем, а также 2 приложения. В написании было использовано 10 литературных источников.
Ключевые слова работы: ряды Вольтера, анализ нелинейных схем, сигнал.
ОТЗЫВ
Работа затрагивает достаточно актуальную проблему выбора метода анализа схем, содержащих устройства со слабой нелинейностью. Можно предположить, что если моделирующая программа на основе данного метода позволит определять изображения т.н. ядер ряда Вольтерра, исключая кропотливый труд по выводу формул ядер, и позволит наглядно представлять в графической форме обобщенные частотные характеристики, то аппарат анализа на основе рядов Вольтерра получит более широкое признание. Ввиду сложности анализа системы с нелинейностью общего вида, он проводится тогда, когда нелинейность является существенной. Метод ряда Вольтерра позволяет исследовать системы с мягкими инерционными нелинейностями и может занять промежуток между методами анализа линейных систем и методами анализа нелинейным системам с существенными нелинейностями.
Самым большим недостатком метода анализа на основе рядов Вольтерра являются случающиеся время от времени затруднения в решении в случае, когда было превышено требование на малую нелинейность. Есть несколько характерных признаков, по которым можно определить, что начальные условия вышли за рамки допустимых. Например, при увеличении сигнала интермодуляционные составляющие не входят в насыщение, а продукты преобразования на фундаментальных частотах насыщаются слабо. Здесь как никогда полезен некоторый практический опыт.
Научный руководитель _____________
СОДЕРЖАНИЕ
Введение......................................................................................................................................5
1. Кратко о функциональном ряде Вольтерра........................................................6
2. Анализ на основе рядов Вольтерра........................................................................8
3. Детализация структуры модели нелинейной системы....................................12
4. Пример анализа методом рядов Вольтера...........................................................18
5. Пример модели умножителя частоты....................................................................22
Заключение...................................................................................................................................26
Список использованных источников..................................................................................27
Приложения..................................................................................................................................28
1. Приложение 1...............................................................................................................28
2. Приложение 2...............................................................................................................28
ВВЕДЕНИЕ
Большинство программ моделирования ВЧ и СВЧ схем базируются на методе гармонического баланса. Этот метод предлагается как средство решения задач любого рода, с чем он, согласно установившемуся мнению, успешно справляется.
На практике имеются задачи, с решением которых метод гармонического баланса справляется не совсем хорошо. К этой области можно отнести задачи анализа схем со слабо выраженной нелинейностью или схем, на вход которых подаются сигналы малого уровня, например, моделирование малосигнального усилителя на полевом транзисторе. Можно было бы предположить, что анализ такой малосигнальной схемы не вызовет особых затруднений, но на практике всё оказывается намного сложнее, так как большинство мо-делей твердотельных устройств не предназначены для анализа методом гармонического баланса, а сам метод весьма чувствителен к едва уловимым ошибкам, громоздок и раздражающе медленен.
Анализ на основе рядов Вольтерра является наиболее подходящим методом для моделирования схем со слабой нелинейностью. Он идеально подходит для оценки интермодуляционных искажений (IM), анализа схем, работающих в линейном режиме (т. е., ниже точки компрессии усиления по уровню минус 1 дБ), и схем, выполняющих преобразование амплитудной модуляции в фазовую (AM-to-PM). Анализ на основе рядов Вольтерра для такого рода задач предлагает значительно большую точность и скорость, на несколько порядков превышающие получаемые при использовании метода гармонического баланса. Кроме того, он хорошо интегрируется с распространёнными методами анализа линейных схем и даёт возможность одновременной оптимизации нелинейных эффектов и коэффициентов шума, передачи и отражения. С учётом всех перечисленных преимуществ, этот метод может считаться оптимальным для анализа схем со слабой нелинейностью.
1. КРАТКО О ФУНКЦИОНАЛЬНОМ РЯДЕ ВОЛЬТЕРРА
Пусть имеется нелинейная система с одним входом и одним выходом, описываемая оператором:
y(t) = N{x(t)}, (1.1)
здесь: x(t) – входной сигнал системы;
y(t) – выходной сигнал системы;
N{} – нелинейный оператор.
Тогда, при довольно слабых требованиях, предъявляемых к виду оператора, выходной сигнал системы может быть представлен в виде [1,5,6]:
, (1.2)здесь qk(t1, t2, …, tk) – ядро ряда Вольтерра k-й степени,
k-мерная весовая функция.
Как видно, ряд Вольтерра является обобщением интеграла свертки, широко используемого в теории линейных систем. В результате такого представления оператора, можно построить модель системы в виде параллельного соединения звеньев, соответствующих каждому из слагаемых ряда. Вопросы сходимости ряда анализируются, например, в [5], скорость сходимости определяет число звеньев, достаточных для моделирования системы с требуемой точностью. Ясно, что чем меньше абсолютная величина x(t), тем меньше членов потребуется.
Если применить к каждому ядру преобразование Лапласа соответствующего порядка, то схема примет вид параллельного соединения звеньев с многомерными передаточными функциями [5]:
Рис. 1.1. Модель нелинейной системы в виде параллельной структуры звеньев с многомерными передаточными функциями. W(s) – передаточная функция линейной части системы
2. АНАЛИЗ НА ОСНОВЕ РЯДОВ ВОЛЬТЕРРА
При анализе методом рядов Вольтерра производится расчёт уровней различных интермодуляционных составляющих, чаще называемых продуктами преобразования. Как правило, наибольший интерес представляют получаемые при двухтональном воздействии интермодуляционные составляющие третьего порядка, рассчитываемые по формуле 2f2 – f1, где f1 и f2 — частоты двух сигналов, подаваемых на анализируемое устройство. Между тем, анализ на основе рядов Вольтерра не ограничивается анализом интермодуляционных искажений. Кратные гармоники сигналов, продукты AM-to-PM преобразования и многое другое могут быть описаны как результат смешивания частот сигналов возбуждения. Порядок продукта преобразования или интермодуляционной составляющей определяется просто как сумма коэффициентов частот. То есть, если продукт преобразования получен по формуле:
f = mf1 + nf2 + pf3 + ... , (2.1)
то его порядок будет равен:
О = |m| + |n| + |p| + ... . (2.2)
Заметим, что некоторые продукты более высоких порядков могут совпадать по частоте с продуктами низких порядков, например, если продукт преобразования третьего порядка рассчитывается по формуле:
f = f + f – f. (2.3)
Поскольку в преобразовании здесь участвуют три частоты, то это продукт преобразования третьего порядка. Однако, конечное значение совпадает с фундаментальной частотой. Может показаться странным, но это важный продукт: интерференция между этой составляющей и полезным фундаментальным продуктом преобразования может использоваться для определения точки компрессии или параметров AM-to-PM преобразования. Аналогичным образом, кратные гармоники сигнала можно представить как: