Применение теории катастроф маневры и теория катастроф Применение в естественных науках (стр. 10 из 11)

В 80-е гг. появляются книги о теории катастроф и её применении: под редакцией А.В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича «Нелинейные волны. Структуры и бифуркации», «Нелинейные волны. Динамика и эволюция». Американский физик Р. Гилмор показал приложение теории катастроф в сфере точных наук.

В настоящее время нелинейной динамикой в России (и в частности теорией катастроф) занимается Институт радиотехники и электроники и его региональные отделения, а так же различные научные центры, например, Ижевский НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика».

Член-корреспондент РАН Д.И. Трубецков разработал 4-х годичный курс «Как работают и думают физики», включающий в себя такие дисциплину как «Теория катастроф».

Кроме этого, с теорией можно познакомиться через Интернет, а именно: http://scintific.narod.ru/nlib/books, http://rcd.ru

Однако это далеко неполный перечень ученых, внесших вклад создание и применение теории катастроф, так как сама теория связана и с теорией колебаний и волн, и с теорией динамических систем, и с динамическим хаосом, да и с экономикой, общей физикой, биологией, экологией, психологией и ещё с рядом наук.

Машина катастроф Зимана (1 час).

Машину катастроф каждый может легко изготовить сам. Для этого нужно взять доску (А) (см. рис.52) и, вырезав из картона диск (В), прикрепить его иглой в центре (С) к доске так, чтобы он мог свободно вращаться. Другая игла (D) втыкается только в диск на его краю, а третья (Е) — только в доску. Чтобы закончить сборку машины нужно еще две ленты из легко растяжимой резины (F, G), карандаш (H) и лист бумаги. Подле того, как игла на краю диска соединена с неподвижной иглой и с карандашом резинками, мы ставим, острие карандаша в некоторой точке на листе бумаги и тем натягиваем резинки.

Диск устанавливается в некотором положении. Теперь при движении острия карандаша диск будет поворачиваться.

H F D G

A E C B

Рис.52. Машина катастроф Зимана

При некоторых положениях острия карандаша малое изменение его положения способно вызвать «катастрофу», т. е. скачок диска в новое положение. Если отметить на листе бумаги места всех таких «катастроф», то получается «кривая катастроф» (К). Полученная кривая катастроф имеет четыре точки возврата. При пересечении кривой катастроф скачок может происходить, а может и не происходить, в зависимости от того, по какому пути остриё карандаша обходило точки возврата кривой катастроф [3C.14].

Состояние машины катастроф описывается тремя числами.

Положение острия карандаша задается двумя координатами (они называются управляющими параметрами). Положение диска определяется еще одним числом углом поворота, называемым также внутренним параметром системы. Если все три числа заданы, и определены степени растяжения резинок и, следовательно, определена потенциальная анергия всей системы. Диск поворачивается так, чтобы эту энергию минимализировать (по меньшей мере, локально). При фиксированном положении карандаша потенциальная энергия — функция от положения диска, т. е. функция, заданная на окружности. Эта функция может иметь в зависимости от значений управляющих параметров один или несколько минимумов (рис. 53).

потенциальная энергия

Рис.53. Потенциальная энергия машины катастроф

Если при изменении управляющих параметров положение минимума меняется плавно, то скачка не происходит. Скачок происходит при тех значениях управляющих параметров, для которых локальный минимум исчезает, слившись с локальным максимумом (рис. 53); после скачка диск оказывается в положении, отвечающем другому локальному минимуму

Рассмотрим трехмерное пространство состояний машины. Состояния, при которых диск находится в равновесии, образуют в этом пространстве гладкую поверхность.

Если проектировать эту поверхность на плоскость управляющих параметров вдоль оси внутреннего параметра, то получится следующая проекция – кривая катастроф (рис. 53) [3C.15].

Рис.53. Поверхность равновесий машины катастроф

Применение теории катастроф (3 часа)

Согласно геологическим данным, поверхность Земли хранит следы многих оледенений. В течение этих периодов огромные пространства Северного полушария круглый год были покрыты льдами. За последний миллион лет оледенения наступали примерно каждые 100 тыс. лет, причем их продолжительность значительно превышала длительность (10—12,5 тыс. лет) межледниковых периодов. Продвижение и отступление ледников сопровождались сменой климатических условий, что в свою очередь приводило к миграции в широких масштабах как растительных, так и животных видов. Установлено, что изменения климата в более поздние времена (развитие растительного покрова Исландии, оледенение Гренландии) приводили также к миграции людей. Довольно часто климатические изменения порождали экономические трудности. Так, внезапное похолодание, наступившее в конце «малого ледникового периода», явилось причиной катастрофического неурожая картофеля в Ирландии. Следствием изменения климатических условий, происходившего в более отдаленные времена, были проблемы социального характера, связанные с расцветом и упадком государств, изменением значимости геополитических районов (см. труды Плутарха и Ветхий Завет). В связи с этим, естественно, важно знать, произойдут ли и когда именно колебания или изменения климата в будущем. Климатические изменения, подобные тем, которые имели место в «ледниковом периоде», в наше время вызвали бы огромные экономические трудности. Резкое снижение мирового производства продуктов питания, связанное с охлаждением земного шара, серьезно повлияло бы на демографический баланс, не говоря уже о том, что увеличение плотности народонаселения, обусловленное новым продвижением края северных полярных льдов до 40° северной широты, имело бы отрицательные последствия [11.C.36].

Рассмотрим движение Земли по орбите вокруг Солнца. Земля движется по

эллиптической орбите и, казалось бы, она остается неизменной.

Однако за прошедший миллион лет эксцентриситет (отношение большой и малой полуосей) изменялся от 0,00 примерно до 0,06 (рис. 54) (заштрихованному шарику соответствует эксцентриситет равный нулю). Это изменение не описывается гармоническими (с одной частотой) колебаниями; имеется спектр частот, причем преобладают частоты, которым соответствуют периоды колебаний от 90 до 105 тыс. лет, в среднем около 93 тыс. лет (рис. 54). В данное время эксцентриситет орбиты мал. Количество энергии, поступающей в верхние слои атмосферы при почти круговой орбите и при максимальном эксцентриситете, различается на 0,1 %. Этого вполне достаточно для изменения средней температуры земной поверхности на несколько Кельвинов, что в свою очередь достаточно для возникновения экстремальных климатических условий [12.C.11].

Полюс эклиптики

эксцентриситет

Тыс. лет до н.э.

0 100 200 300 400 500

Рис. 54.а — изменения орбиты Земли вызваны влиянием других планет, которые лежат в одной плоскости. Эксцентриситет изменяется от 0,00 до 0,06;

б — изменение эксцентриситета земной орбиты на протяжении последних 500 тыс. лет.

Для подготовки к конференции можно предложить учащимся ряд исследовательских задач:

1. Построить график зависимости появления ледохода на реке от температуры, проанализировать полученный график (рис.55).

ледоход

t, ⁰C

Рис.55. График зависимости появления ледохода на реке от температуры

2. Исследовать функции F(x;a,b)=+x⁴+ax+bx², F(x;a,b)=x³+ax.

3. Построить кривую Ван-дер-Ваальса и поверхность, определяющую состояние системы газ-жидкость. Показать, что в результате теплового возбуждения система может преодолеть энергетический барьер

Для подготовки к конференции можно предложить учащимся ряд практических задач:

1. Изготовить машину катастроф Зимана и показать зависимость полученной кривой от упругости и длины резинки и диаметра круга.

2. Выполнить модели различных зависимостей.

Заключение

В дипломной работе, посвященной теории катастроф и ее приложениям были получены следующие результаты:

1. изучена математическая теория катастроф;