Применение теории катастроф маневры и теория катастроф Применение в естественных науках (стр. 2 из 11)

Кроме этого, с теорией катастроф можно познакомиться через Интернет, а именно: http://scintific.narod.ru/nlib/books, http://rcd.ru

Однако это далеко неполный перечень ученых, внесших вклад создание и применение теории катастроф, так как сама теория связана и с теорией колебаний и волн, и с теорией динамических систем, и с динамическим хаосом, а так же с экономикой, общей физикой, биологией, экологией, психологией и ещё с рядом наук.

Т.о. Теория катастроф родилась на стыке двух дисциплин — топологии и математического анализа, ее источниками являются теория особенностей гладких отображений X. Уитни и теория устойчивости и бифуркаций динамических систем А. Пуанкаре, А. Ляпунова и А. Андронова. Оба эти направления слились благодаря усилиям французского математика Р. Тома в единую стройную теорию, которая получила столь броское название — теория катастроф [5.C.11].

1.2 Физические основы теории катастроф

Что общего между прыгающим мячиком, ледоходом на реке, извержением вулкана, биологической популяцией белок в лесу, распределением вещества во Вселенной, формированием понятия? Все эти объекты могут рассматриваться как динамические системы. А для динамической системы можно указать набор величин, называемый динамическими переменными и характеризующий состояние системы, при чем значения динамических переменных из исходного набора изменяются в любой последующий момент времени по определенному правилу. Это правило задает оператор эволюции [4.C.11]. Например, для мячика оператор эволюции определяется законами движения с учетом силы тяжести и силой удара о землю. Мгновенное состояние будет задаваться двумя величинами – расстоянием от земли и временем.

Геометрически мгновенное состояние определяется как точка на фазовой плоскости, где расстояние и время будут осями ординат и абсцисс соответственно (рис.1.).

S S

t

Рис.1. Движение мяча

Если состояние системы задается набором N величин, то динамику можно представить как движение точки в N-мерном фазовом пространстве (эволюционный процесс математически описывается векторным полем).

Точка фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой точке вектор указывает скорость изменения состояния. В некоторых точках вектор может обращаться в нуль. Такие точки называются положениями равновесия (состояние не меняется с течением времени). Однако с течением времени в системе устанавливаются колебания, таким образом, равновесное состояние неустойчиво.

Кривые в фазовом пространстве, образованные последовательными состояниями процесса, называются фазовыми кривыми. [3.C.17].

Установившиеся колебания изображаются замкнутой кривой на фазовой плоскости. Эта кривая называется предельным циклом в фазовой плоскости (рис.2.) [3.C.17].

Устойчивые Неустойчивые

Фокус узел седло узел фокус

Рис.2. Типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия

Различают два класса динамических систем: консервативные (режим динамики определяется начальным состоянием) и диссипативные (режим динамики становится не зависящим от начального состояния). В курсе теории катастроф рассматриваются диссипативные динамические системы.

Множество точек в фазовом пространстве диссипативной динамической системы в установившемся режиме называют аттрактором. [5.C.9].

Простые примеры аттракторов – устойчивое состояние равновесия и предельный цикл, отвечающий режиму периодических колебаний (замкнутая фазовая траектория, к которой приближаются все соседние траектории).

Аттракторы, отличные от состояний равновесий и строго периодических колебаний, называются странные аттракторы. Даже малая неточность в задании начального состояния системы нарастает во времени, так что предсказуемость становиться непостижимой на достаточно больших интервалах времени [3.C.25]. Переход от устойчивого состояния равновесия процесса к странному аттрактору может совершаться как скачком (при жесткой или катастрофической потере устойчивости), так и после мягкой потери устойчивости (рис.3.).

x

равновесие цикл удвоенный цикл странный аттрактор

потеря удвоение потеря устойчивости t

устойчивости периода удвоенного цикла

рис.3. Сценарий хаотизации

Все выше перечисленные примеры показывают, что состояние системы зависит от параметров системы (динамических переменных, характеризующих состояние системы), при изменении которых происходит изменение состояния системы. Такие параметры называют управляющими параметрами. Система может зависеть от одного или нескольких параметров [2.C.18]. Можно рассмотреть пространство всех систем (рис.4.), разделенное на области, образованные системами общего положения. изображается кривой.

Рис.4 Однопараметрическое семейство систем

Не возможно однозначно предсказать конечное состояние системы по исходным параметрам. Очень трудно задать абсолютно все параметры, а задать начальные значения параметров еще сложнее, к тому же с течением времени исходные значения параметров изменяются [6.C.44].

Теория катастроф рассматривает процессы, в которых плавное изменение параметров системы прерывается их скачкообразным изменением (предсказуемым или заранее неизвестным), после чего система оказывается в другом режиме существования или разрушается. Этот скачок теория называет катастрофой, поскольку ударный характер нагрузки на замкнутую систему может её повредить, разрушить или быть неприемлемым по каким-то иным причинам. Сама теория катастроф родилась из обобщающего анализа реальных катастроф в их математическом описании.

Режим, в котором оказывается система после катастрофы, может быть предсказуем - либо однозначно, либо в вероятностно-статистическом смысле, либо непредсказуем [6.C.21].

Таким образом, катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий.

1.3 Математические основы теории катастроф

Математическая сторона теории весьма непроста. Но можно ведь и о самых сложных вещах рассуждать просто, как говорится, объясняясь на пальцах. Сам Эйнштейн, кстати, владел таким способом изложения своих мыслей достаточно хорошо [3.C.88].

Прикладная математика, физика, химия, а так же технические дисциплины часто являются результатом применения новых математических идей и методов. Поэтому и прикладная математическая теория — теория катастроф — в сочетании с современными методами системного анализа является полезным и эффективным средством анализа различных реальных процессов [1.C.8].

Рассматривать в фазовом пространстве положения равновесия, предельные циклы и перестройки системы в целом (её инвариативных множеств и аттракторов) можно осуществлять с помощью дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, обычно, неизвестны. Поэтому уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым и его решение может качественно измениться при сколь угодно малом изменении этих параметров [5.C.9]. Следовательно, при составлении дифференциальных уравнений, описывающих физические системы, необходимо учитывать, какие изменения параметров вызывают изменения системы. Однако математические модельные системы могут оказаться громоздкими из-за большого количества входящих в них переменных, поэтому при изучении таких систем часть переменных, мало изменяющихся в ходе процесса, полагают постоянными. В результате получается система с меньшим количеством переменных, которая и исследуется. Но учесть влияние отброшенных членов в исходной модели, рассматриваемой «индивидуально», обычно невозможно. В этом случае отброшенные члены можно рассматривать как возмущения.