Применение теории катастроф маневры и теория катастроф Применение в естественных науках (стр. 4 из 11)

Однако можно найти каноническую форму потенциальной функции в неморсовской критической точке, если l собственных значений h₁(c),…, h_n(c) обращаются в нуль в h_i точке с=с₀. тогда потенциальную функцию можно расщепить на морсовскую и неморсовскую составляющие:

U(x,c)= h_i y₁(x))²+ f_NM (y₁(x;c),…,y_l (x;c); c)+ y₁(x))²(11)

Так как теорема Тома гарантирует существование гладкой замены переменных (при k < 5 нет ограничений на семейство потенциальных функций U(x₁,..x_n ; c₁,..c_k)), то потенциальную функцию можно записать следующим образом:

f_NM (y₁(x;c),…,y_l (x;c); c) = CG(l) ( 12)

h_i y₁(x))²= Pert(l, k)

где функцию CG(l) называют ростком катастрофы;

функцию Pert(l, k) называют возмущением [5.C.19].

Функция катастрофы Саt(l, k)=CG(l)+Pert(l, k), представляет собой функцию l переменных (состояний) и k (управляющих) параметров. Функция катастроф Саt(l,k) сводится к ростку катастрофы только тогда, когда в пространстве R^k управляющие параметры принимают значения а₁,..а_k , c₁,…c_k..

Все функции катастроф Саt(l,k) с каноническим ростком катастроф CG(l), где k < 5 перечислены в таблице 1. (c.18).

1.4 Элементарные катастрофы

Существуют различные подходы к рассмотрению элементарных катастроф.

Арнольд В.И. на основе выводов теории особенности рассматривает простые образы вроде складки, сборки, точки возврата и еще несколько образов, получивших собственные имена, например, «ласточкин хвост».

Кузнецов А.П. рассматривает примеры систем с катастрофами (катастрофы складки и сборки), при выявлении существенных параметров, классификации критических точек.

Найман Э. вводит элементарные катастрофы в теории хаоса в качестве доказательства невозможности предсказать постоянные нелинейные и нерегулярные сложные движения, возникающие в динамической системе.

Воспользуемся классификацией Тома Р., которая является таблицей элементарных катастроф и содержит в каждой своей строке две функции: росток катастроф CG(l ) и ее возмущением Pert(l, k)

Таблица 1. Элементарные катастрофы Тома [5.C.67].

Тип катастрофы	k	Росток	Возмущение
А2	1	x3	а1х
А±3	2	±х4	a1x + а2хг
А4	3	x5	а1х + а2х2+ a3x3 ■а3х3
A±5	4	±х4	а1х + а2х2+ a3x3+ a4x4
А6	5	x7	а1х + а2х2+ a3x3+ a4x4+ a5x5
D+4	3	x2y+y3	а1х + а2y + a3y2
D5	4	x2y+y4 2у + у*	а1х + а2y + a3x2+ a4y2 Ь сцу2
D+6	5	x2y+y5 гУ + Уъ	а1х + а2y + a3x2+ a4y2+a5y3
Е±6	5	x3+ y4	а1х + а2y + a3xy+ a4y2+a5xy2

Проанализируем каждый тип катастроф.

Катастрофы типа А₂

Предположим, что U(x₁ ..., х_п; с) — общее 1-параметрическое семейство потенциальных функций. Тогда при исследовании этого семейства можно встретить отдельные функции, которые имеют неморсовские критические точки. Ограничимся изучением зависимости качественных изменений в поведении функции катастрофы F(x;a) от управляющих параметров. Катастрофа А₂задается формулой (7) и графически представлена на рис. 7.

А₂: F(x;a) =1/3 x³ + ax, (13)

Коэффициенты в простых ростках катастроф могут быть выбраны равными каноническим значениям, например, ±1 [5.C.67].

В тех случаях, когда берутся производные, могут быть выбраны другие канонические значения с помощью изменения масштабов. Для удобства такие же множители могут быть введены и в возмущение [5.C.67].

Критические и дважды вырожденные критические точки функции

F(x; а) определяются соответственно из условий равенства нулю градиента

F{x; а) и d²F/dx² = 0, следовательно х²+ а=0 и 2х=0. (14)

a>0

a<0

a=0

Рис.7. Все функции F(x;a)

Рассмотрим полную потенциальную энергию – U(Q). Точки, соответствующие максимуму и минимуму потенциальной энергии, это точки в которых, в которых dU/dQ обращается в нуль. При этом функция U= U(q, q) имеет только одну активную координату [1.C.24]. При построении модели (рис. 8) трансформация энергии обозначим Q и L общие переменные, заменяющие локальные переменные, которые обозначались строчными буквами q и q. Полученное слиянии и исчезновении минимума и максимума, под действием единственного управляющего параметра, называется катастрофой складки. [1.C.25]. Ей соответствует траектория равновесия XCY, которая загибается в критической точке С, меняя при этом характер устойчивости.

Рис.8. Изменение энергии в случае катастрофы складки.

Покажем, что катастрофа типа А₂ представлена складкой.

На горизонтальной плоскости-проекции выделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием) в начале координат. Эта кривая делит горизонтальную плоскость на две части (условно на меньшую и большую).

Точки меньшей части имеют по три прообраза (в них проектируется три точки поверхности), точки большей части — лишь по одному, точки кривой — по два.

При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (из трех) сливаются и исчезают (в этом месте особенность — складка), при подходе к острию сливаются все три прообраза [5.C.69].

Рис.9. Катастрофа складки.

При изменении параметра выделяются особые или бифуркационные значения параметра (рис.9). Вне этих значений положения равновесия гладко зависят от параметров [5.C.70].

Катастрофы типа А₃

Критические, дважды вырожденные критические и трижды вырожденные критические точки катастрофы А₃ определяются приравниванием соответственно первой, второй и третьей производных

F(x; a, b) нулю: сепаратриса катастрофы, определяемая уравнениями

dF/dx = 0, dF²/dx² = 0, разделяет пространство управляющих параметров на две открытые области, представляющие функции с одной критической точкой или функции с тремя критическими точками.

Катастрофа типа А₃ задается следующим семейством функций, зависящих от двух управляющих параметров а и b:

А₊₃: F(x;a,b) = +x⁴+ ax+bx². (15)

График функции (рис.10) при различных значениях управляющих параметров (а, b): внутри области имеет форму сборки или симметричной бифуркации.

Рис. 10. График функции F(x;a,b) = +x⁴+ ax+bx².

F(x; a, b) имеет три изолированные критические точки, а вне этой области — всего одну; на границе функция семейства имеет изолированную критическую точку и дважды вырожденную критическую точку, а в начале координат— трижды вырожденную критическую точку. Положение критических точек находится путем решения кубического уравнения вида