Применение теории катастроф маневры и теория катастроф Применение в естественных науках (стр. 5 из 11)

gradF = x³ + ax + b = 0. (16)

Рис. 11. График функции F = x³ + ax + b = 0.

Катастрофы типа А₄

Катастрофа типа А₄ задается следующим семейством функций, зависящих от трех управляющих параметров а, b, с:

А₄: F(x;a,b,c)=x⁵+ ax+bx²+сх³. (17)

Критические точки определяются через приравненные к нулю производные:

1. Критические точки: 5х⁴ + а + 2bх + 3х²с = 0.

2. Дважды вырожденные: 10х³+b+3х =0.

3. Трижды вырожденные: 10x²+1=0.

4. Четырежды вырожденные: x=0.

Функция А₄: F(x;0,0,0) имеет четырежды выраженную точку х=0.

Рис. 13. График функции F(x;a,b,c)=x⁵+ ax+bx²+сх³.

Катастрофы типа A₊₅

Катастрофа типа А₊₅ задается следующим семейством функций, зависящих от четырех управляющих параметров а, b, с, d:

А₊₅: F(x;a ,b, c, d)= +x⁴+ах+bx²+сх³+dx⁴. (15)

1. Критические точки: +4х³+х+2bх+3cx²+4dx³=0

2. Дважды вырожденные: +6х²+b+3cx+6dx²=0

3. Трижды вырожденные: +4aх+c+4dx=0

Рис. 14. График функции F(x; a, b, c) =+x⁴+bx²+сх³+dx⁴ .

Катастрофы типа A₆

Катастрофа типа А₆ задается следующим семейством функций, зависящих от пяти управляющих параметров а, b, с, d, e:

А₆: F(x;a,b,c)=х⁷+ аx+bx²+сх³+dx⁴+ex⁵ (19)

1. Критические точки: 7х⁶+a+2bх+3cх²+4dx³+5ex⁴=0.

2. Дважды вырожденные: 24х⁵+b+3cх+6dх²+10ex³=0.

3. Трижды вырожденные: 40х⁴+c+4dx+10ex²=0.

4. Четырежды вырожденные: 40х³+d+5ex=0.

5. Пяти вырожденные: 24х²+ex=0.

6. Шести вырожденные: 48х+е=0.

Рис. 15. График функции F(x; a, b, c) = х⁷+ аx+bx²+сх³+dx⁴+ex⁵.

Катастрофы типа D₊₄

Катастрофа типа D₊₄ задается следующим семейством функций, зависящих от трех управляющих параметров а, b, с:

D₊₄: F(x,y;a,b,c)= x²y+ y²+ах+by+ cy²=0. (20)

Рис. 16. График функции F(x; a, b, c) = x²y+ y²+ах+by+ cy²=0.

Катастрофы типа D₅

D₅: F(x;a ,b, c, d)= х²у+у⁴+ ax+bу+cx²+dу². (22)

Рис. 17. График функции F(x;a ,b, c, d)= х²у+у⁴+ ax+bу+cx²+dу².

Катастрофы типа D_-6

Катастрофа типа D_-6 задается следующим семейством функций, зависящих от пяти управляющих параметров а, b, с, d, e:

D_-₆: F(x;a ,b, c, d)= х²у+у⁵+ ax+bу+cx²+dу²+ey³. (23)

Рис. 18. График функции F(x;a ,b, c, d)= х²у+у⁵+ ax+bу+cx²+dу²+ey³.

Рис. 19. График функции F(x; a, b, c, d) = х²у+у⁵+ ax+bу+cx²+dу²+ey³.

Катастрофы типа E₊₆

Катастрофа типа E₊₆ задается следующим семейством функций, зависящих от пяти управляющих параметров а, b, с, d, e:

E₊₆: F(x;a ,b, c, d,e)= х³+у⁴+ ax+bу+cxy+dу²+exy². (24)

Рис. 20. График функции F(x;a ,b, c, d,e)= х³+у⁴+ ax+bу+cxy+dу²+exy².

Установление наличия и типа катастрофы в рассмотренных выше случаях возрастающей неопределенности в описании системы могут помочь определить упрощенную модельную потенциальную функцию, зависящую только от существенных переменных состояния и управляющих параметров. Cответствующий росток потенциальной функции может помочь установить соответствующий тип уравнений, и то, каким образом потенциальная функция может входить в такие уравнения.

Хотя катастрофы обнаруживаются при качественных исследованиях уравнений, существует эффект обратной связи, который иногда позволяет получить качественные следствия даже в том случае, когда мы не знаем самих уравнений при условии, что мы в состоянии установить их наличие и тип катастрофы [2.C.144].

Среди огромного количества катастроф можно выделить ряд характеристик, позволяющие говорить о наличии катастрофы.

1. Модальность.

Рис. 21. Катастрофа сборки.

Физическая система может иметь два или более различных физических состояния. Другими словами, описывающая систему потенциальная функция имеет более чем один локальный минимум в некоторой области изменения внешних управляющих параметров.

Катастрофа сборки становится бимодальной, если управляющие параметры лежат в пределах области сборки.

2. Недостижимость.

Если система находится в состоянии равновесия, которое оказывается морсовским i-седлом (рис.22), то такое состояние является неустойчивым, поскольку существуют инфинитезимальные возмущения, приводящие к уменьшению значения потенциала. Всякий раз, когда потенциальная функция имеет более чем один локальный минимум, она должна иметь, по крайней мере, одно i-седло (с>0), которое является состоянием неустойчивого равновесия [4.C.83].

Два слоя в области сборки, представляющие локально устойчивые минимумы, разделены срединным недостижимым слоем, представляющим неустойчивые локальные максимумы.

Рис. 22. Морсовское седло.

3. Катастрофические скачки.

Малые изменения в значениях управляющих параметров могут вызывать большие изменения («катастрофический скачок») в значениях переменных состояния по мере того, как система перескакивает из одного локального минимума в другой [5.C.3]. Согласно принципу Максвелла, этот неожиданный скачок сопровождается плавным, но не дифференцируемым изменением значений потенциала. Переход из окрестности одного локального минимума в другой проявляет себя в большом изменении значения переменной состояния, которое часто происходит в сверхбыстрой временной шкале. Свойства устойчивости критических точек функции катастрофы-сборки легко определяются из рассмотрения многообразия этой катастрофы. Неожиданный скачок в значении переменной состояния происходит, как только состояние системы перескакивает с одного слоя поверхности катастрофы сборки на другой (рис.23).

Рис.23. Катастрофа сборки.

4. Расходимость.

Конечные изменения в значении управляющих параметров приводят к конечным изменениям в значениях переменных состояния в точке равновесия [5.C.87]. Обычно малые возмущения в исходных значениях управляющих параметров ведут лишь к небольшому изменению начальных и конечных значений переменных состояния. Однако в окрестности неморсовской критической точки малые изменения начальных значений переменных состояния могут привести к большим изменениям конечных значений этих переменных.

Неустойчивость физического процесса при возмущениях в траектории управляющих параметров называется расходимостью.

Расходимость в случае катастрофы сборки. Два близких пути в пространстве управляющих параметров могут приводить к далеко расходящимся конечным значениям переменных состояния (рис.24).

Рис.24 . Катастрофа сборки.