Применение теории катастроф маневры и теория катастроф Применение в естественных науках (стр. 6 из 11)

5. Гистерезис.

Гистерезис имеет место, когда физический процесс не является полностью обратимым, т. е. над той же самой точкой пространства управляющих параметров скачок из локального минимума 1 в локальный минимум 2 может и не произойти, в то время как скачок из локального минимума 2 в локальный минимум 1 имел место [2.C.113].

Рис.25. Явление гистерезиса.

Явление гистерезиса имеет место, когда скачок с одного листа на другой не случается при тех же значениях управляющих параметров, что и возвратный скачок.

Модальность, недостижимость, катастрофические скачки, расходимость и гистерезис обычно встречаются в совокупности. Они зависят от достижимости физической системой области пространства управляющих переменных, в которой потенциал имеет более чем один локальный минимум. Явление гистерезиса может быть не наблюдаемо, если поведение системы подчиняется принципу Максвелла, однако даже в этом случае иногда возможно наблюдать его (сверхохлаждение, сверхнагревание) с помощью экспериментальных методов [5.C.93].

Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ

В теории катастроф есть нечто таинственное – это удивительные

совпадения связей между далекими на первый взгляд предметами теориями [7.С.62].

Теория катастроф дает универсальный метод исследования скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений. Существуют различные публикации, в которых теории катастроф применяется к исследованиям биения сердца, в геометрической и физической оптике, эмбриологии, лингвистике, психологии, экономике, гидродинамике, геологии и теории элементарных частиц. Среди опубликованных работ по теории катастроф есть исследования устойчивости кораблей, моделирования деятельности мозга и психических расстройств, восстаний заключенных в тюрьмах, поведения биржевых игроков, влияния алкоголя на водителей транспортных средств [3.C.7].

Кроме того, явления устойчивости представляют огромный интерес для всех научных работников и инженеров из самых разных областей науки и техники. Например, потеря устойчивости тонкостенных конструкций под действием веса и ветровой нагрузки, астрофизика коллапсирующих звезд, внезапное разрушение кристаллической решетки, фазовые переходы в термодинамических системах, взрывное развитие популяций конкурирующих экологических видов, возникновение турбулентности в быстро движущейся жидкости, хаотическое движение в простых детерминистических моделях, управление положением космического корабля и нейродинамика мозга.

Общая точка зрения на все эти различные проблемы устойчивости достигается при помощи теории катастроф. Чтобы понять предмет достаточно глубоко, требуется некоторое знание математики, только тогда

можно составить правильное представление об области применения теории катастроф [2.C.12]

2.1 Манёвры и теория катастроф

Состояния равновесия процесса образуют поверхность

того или иного числа измерений в этом пространстве. Проекция поверхности равновесий на плоскость управляющих параметров может иметь особенности [4.C.124]. Предполагается, что это — особенности общего положения. В таком случае теория особенностей предсказывает геометрию «катастроф», то есть перескоков из одного состояния равновесия в другое при изменении

управляющих параметров.

Рис. 26. Проектирование поверхности на плоскость

Математическая сторона катастроф позволяет обосновать результаты,

полученные на практике (в зависимости от степени обоснованности управляющих параметров). Например, в теории хлопков упругих

конструкций и в теории опрокидывания кораблей предсказания теории полностью подтверждаются экспериментом. С другой стороны, в биологии, психологии и социальных науках (скажем, в приложениях к теории поведения биржевых игроков или к изучению нервных болезней) как исходные предпосылки, так и выводы имеют скорее эвристическое значение.

Замкнутая система может иметь один и более устойчивых балансировочных режимов, принадлежащих к конечному или бесконечному множеству. Перевод замкнутой системы из одного балансировочного режима в другой - наиболее часто встречающийся вид маневра.

Маневр имеет смысл при переходе системы в конечный балансировочный режим, который является устойчивым режимом для данной замкнутой системы [3.C.93].

В пространстве параметров, описывающих замкнутую систему, маневр - траектория перехода от одной точки (начальный вектор состояния) к другой точке (конечный вектор состояния) (рис.27.).

r₂(t)

r₁(t)

Рис. 27. Проектирование поверхности на плоскость

Вектор состояния - функция времени, то есть идеальная траектория и хронологический график прохождения контрольных точек на ней.

Множество допустимых векторов состояния составляет полосу допустимых отклонений от идеальной траектории (с учетом отклонений по времени в прохождении контрольных точек на идеальной траектории).

Маневр может быть условно устойчивым, если замкнутую систему удается перевести в конечное состояние с приемлемой точностью, но возмущающие воздействия (в том числе конфликтное управление) в процессе маневра плохо предсказуемы до его начала; вследствие этого траектория перехода должна корректироваться в ходе маневра с учетом реальных отклонений. Маневр может быть завершен при условии, что в течение перехода возмущающие воздействия не превысят компенсационных возможностей замкнутой системы [4.C.367]. Это же касается ситуации конфликтного управления одним объектом со стороны нескольких субъектов. Примером такого рода условно устойчивого маневра является любое плавание эпохи парусного флота "из пункта А в пункт Б": доплыть - шансы есть, но об аварийности, сроках и маршруте можно говорить только в вероятностном смысле о будущем и в статистическом смысле - о прошлом [3.C.94]. Устойчивый маневр имеет вероятность успешного завершения, когда возмущающиеся воздействия на замкнутую систему в ходе маневра равна единице; однако, может быть сведена и к нулевой вероятностной предопределенности низкой квалификацией управленцев [4.C368]. Наглядными примерами успешного и неуспешного завершения маневра является организация деятельности различных предприятий.

Под «возмущающим воздействием» следует понимать как внешние воздействия среды, включая и конфликтность управления, так и внутренние изменения (поломки и т. п.) в замкнутой системе, поэтому, говоря об устойчивости как об ограниченности отклонений, следует понимать предсказуемость поведения системы [4.C.368]. В экономике широко применяются модели реальных процессов, содержащие допущения (отклонения от идеала). Экономико-математическое моделирование позволяет проанализировать конкретный процесс. На рис.30. можно увидеть точки пересечением плоскостей предложения S и спроса D на осях Q (объем товаров и услуг), P (цена), E (отклонение), значение которых будет оптимальной ценой P_E.

Рис. 28. Образование оптимальной цены

В экономике и других отраслях к маневрам перехода предъявляются разные требования, но наиболее часто предъявляется требование плавности, безударности, т. е. отсутствия импульсных (ударных) нагрузок на замкнутую систему в процессе её движения по идеальной траектории маневра с допустимыми отклонениями в пространстве параметров.

В математической интерпретации это требование двукратной дифференцируемости по времени вектора состояния замкнутой системы и наложению ограничений на вектора-производные («скорость», «ускорение») во всем пространстве коридора допустимых отклонений на протяжении идеальной траектории. Снятие этого требования - перенос задачи управления в область приложений теории катастроф [5.C.436].

Другой пример явлений, изучаемых теорией «катастроф», - переход колебательного процесса из одной потенциальной ямы в другую потенциальную яму: так в шторм корабль испытывает качку относительно одного устойчиво вертикального положения. Плавное увеличение амплитудных значений крена при качке может привести к внезапному опрокидыванию корабля кверху днищем в течение интервала времени менее полупериода качки (секунды) в процессе усиления шторма, обледенения и т.п. Но и опрокинувшийся корабль может не сразу же пойти ко дну, а может еще длительное время оставаться на плаву кверху днищем, по-прежнему испытывая качку относительно своего другого, также устойчиво вертикального положения.

Область потенциально устойчивого по предсказуемости управления в пространстве параметров вектора состояния по отношению к конкретной замкнутой системе - объективная данность. В ней лежит множество объективно возможных траекторий маневров; и множество объективно невозможных. Во множестве объективно возможных траекторий можно выделить подмножество траекторий, на которых лежат точки «катастроф» [5.C.378]. С математической точки зрения это могут быть точки нарушения двукратной дифференцируемости по времени вектора состояния; точки превышения ограничений на вектора-производные; точки на границах между двумя потенциальными ямами и тому подобное. Рассмотрим железнодорожный транспорт страны, тогда: область потенциально устойчивого управления - вся территория государства; множество объективно возможных маневров - существующая сеть железных дорог. Множество объективно невозможных - всё, где нет рельсов и где невозможно по техническим причинам проложить рельсы или построить стрелочные переводы для изменения направления движения. Точки «катастроф»- неисправные пути и стрелочные переводы, слишком крутые повороты и негабаритные места, непроходимые для некоторых видов подвижного состава и локомотивов и тому подобное - это реальные возможности «катастроф». По отношению к каждому из видов груза железнодорожные узлы - точки ветвления их траекторий в вероятностном смысле. В этом примере сами «катастрофы» теории катастроф в нем представлены только реальными «катастрофами» железнодорожного транспорта, а причины срывов управления могут быть самые различные, и могут лежать на каждом этапе управления. Поэтому необходимо исследовать область, предполагаемого маневрирования, на предмет её полного включения в область потенциально устойчивого управления. Если же какие-то фрагменты области, предполагаемого маневрирования, содержат в себе точки срыва управления, выпадают из области потенциально устойчивого (при необходимом качестве) управления по причине многосвязности области, отсутствия её выпуклости и т.п., то такие зоны необходимо исключить и пролагать траектории маневров в обход них (и точек срыва управления в частности) [8.C.4]. Именно этим занимаются все квалифицированные навигаторы: при подходе к берегу, на навигационной карте они проводят границу района, запретного им для маневрирования из-за малости в нём глубин.