Применение теории катастроф маневры и теория катастроф Применение в естественных науках (стр. 7 из 11)

2.2 Применение в естествознании

1. Явление сверхпроводимости.

Впервые сверхпроводимость была открыта Камерлинг - Оннесом в 1911 году у ртути при температуре около 4^oК (-269^oС) выше абсолютного нуля (Нобелевская премия 1913 года). Вплоть до 1986 года сверхпроводимость наблюдалась лишь у некоторых металлов и их сплавов, а самой высокой температурой перехода в сверхпроводящее состояние обладал сплав ниобия и германия: 23^oК (-250^oС). Сверхпроводимость возникает только при охлаждении материала ниже определенной температуры, которая называется критической Т_к. Величина этой температуры у каждого сверхпроводника своя (рис.29.). В этой точке электрическое сопротивление скачком падает до нуля.

Т_к

Рис.29. Зависимость сопротивления материала от температуры

Сверхпроводимость можно наблюдать у гелия ⁴Не. При понижении температуры жидкий He I с нормальными свойствами переходит в сверхпроводящее состояние He II. В момент сверхпроводящего перехода теплоемкость С гелия резко возрастает до огромной величины, а при дальнейшем охлаждении быстро уменьшается. График этой зависимости напоминает греческую букву λ (лямбда) (рис.30).

Рис.30 Зависимость теплоемкости от температуры при переходе гелия в сверхпроводящее состояние

2. Астрофизика.

Многие понятия и идеи теории устойчивости исторически возникли при изучении проблем астрофизики звезд и планет. Одна из них это гравитационный коллапс массивной холодной звезды. Чтобы изучить реальный гравитационный коллапс массивной горячей звезды с учетом углового момента количества движения, магнитных полей Гаррисон, Торн, Вакано и Уилер рассмотрели основные состояния системы из А барионов (нейтронов и протонов), которые дошли до последней стадии термоядерной эволюции и достигли температуры, близкой к абсолютному нулю [1.C.80].

Для А = 1 основное состояние соответствует атому водорода (Н),

для А =4—атому гелия (Не),

для А =56 — атому железа (Fe).

При повышении значения А до 56-10⁶ основное состояние получаемого вещества будет соответствовать 10⁶ атомов железа Fe, расположенных в узлах объемно-центрированной кубической решетки. Когда число барионов достигнет значения порядка 10^6.6—10^6.7, самогравитация становится столь большой, что электроны достигают релятивистских энергий и преобразуют протоны в нейтроны. Ядерный состав меняется от Fe до более тяжелых и более богатых нейтронами ядер [1.C.80].

Масса / солнечная масса

плотность

Рис. 31. График зависимости массы-энергии от плотности.

На рис. 31 приводятся результаты исследования равновесия и устойчивости, в которых масса-энергия представлена как функция плотности в центре звезды. Здесь видно, что возможны только две области устойчивости, соответствующие белым карликам и нейтронным звездам. С увеличением числа барионов и массы-энергии каждая из этих областей достигает критического положения равновесия, или катастрофы складки, при которой доминируют гравитационные силы, и может начаться коллапс[1.C.81].

3. Устойчивые конструкции

Многие крупногабаритные технические конструкции могут быть описаны с помощью потенциальной функции, минимальное значение которой определяет устойчивое состояние конструкции [5.C.180]. Само состояние описывается положением точки в некотором пространстве состояний конструкции. С увеличением нагрузки на конструкцию (мост, здание и т. д.) потенциальная функция изменяется. Значительная нагрузка может привести к потере устойчивости конструкции (т. е. к ее разрушению) вследствие нарушения устойчивого состояния, которое является для данной системы расчетным. Равновесие, устойчивость и потеря устойчивости — это основные вопросы, рассматриваемые теорией катастроф. Методы теории катастроф позволяют определить чувствительность критической, или разрушающей, нагрузки, как к несовершенству конструкции, так и к динамическому воздействию [1.C.83]. Кроме того, они оказываются эффективными при изучении составных систем, для которых возможны различные формы разрушения. Результаты исследования технических конструкций очень важны для их возведения, эксплуатации и разрушения. Работники Московского метрополитена ежедневно используют прибор, чувствительный к разрушениям в конструкциях.

Теория катастроф используется при рассмотрении систем (составленных из нескольких конструкционных элементов), способных к неожиданным формам разрушения и обладающих жесткой чувствительностью к несовершенству [5.C.181], если между элементами существует сильная связь. Например, разрушение опорного кронштейна.

На практике конструкции собирают обычно из большого числа отдельных элементов. Анализ процесса разрушения, как правило, проводится методами теории бифуркаций [1.C.83], используя готовые алгоритмы вычисления возмущения и эталонные характеристические значения (для материала, конструкций, спектрального анализа и так далее).

4. Уравнение Ван-дер-Ваальса

Уравнение Ван-дер-Ваальса, предложенное впервые в 1873 году, описывает поведение жидкости вблизи ее критической точки. Уравнение было получено как соотношение между тремя параметрами V, Р, Т жидкости в окрестности ее критической точки:

pV³-(RT+pb)V²+aV-ab=0 , (25)

где p – давление, V – объем газа, R – постоянная Больцмана,

T – температура, a и b – постоянные для каждого газа величины.

Уравнение Ван-дер-Ваальса описывает катастрофу сборки.

Уравнение катастрофы сборки А₊₃: F(x;a,b) = +x⁴+ ax+bx² (15).

Разделим уравнение Ван-дер-Ваальса (25) на p

V³-(RT/р+b)V²+a/рV-ab/р=0. (26)

Переобозначим коэффициенты при V в уравнении (26), учитывая, что p прямопропорционально V . Получится следующее выражение:

V⁴-ВV²+АV-С=0, оно сравнимо с уравнением (15) – уравнением сборки.

Кривая, описываемая уравнением (25) показана на рис. 32.

V₁V₂ V₃

Рис.32. Кривая Ван-дер-Ваальса.

2.3 Применение в психологии

Рассмотрим работу английского математика К. Зимана. Будем характеризовать творческую личность (например, ученого) тремя параметрами, называемыми «техника», «увлеченность», «достижения». По-видимому, между этими параметрами должна быть зависимость. Тем самым возникает поверхность в трехмерном пространстве с координатами (Т, Д, У) [3.C.12].

Спроектируем эту поверхность на плоскость (Т, У) вдоль оси Д. Поверхность общего положения особенности — сборка (по теореме Уитни) РИС.33.

Рис. 33. Модель «ученый» в пространстве «техника – увлеченность – достижения»

Рассмотрим достижения ученого в зависимости от его увлеченности и технической возможности. Если увлеченность невелика, то достижения монотонно и довольно медленно растут с техникой. Если увлеченность достаточно велика, то наступают качественно новые явления. В этом случае достижения с ростом техники могут расти скачком (такой скачок будет, например, если техника и увлеченность меняются вдоль кривой на рис. 33. в точке 2). Область высоких достижений, в которую мы при этом попадаем, обозначена на рис. 6 словом «гении» [3.C.13].

С другой стороны, рост увлеченности, не подкрепленный соответствующим ростом техники, приводит к катастрофе (на кривой 3 в точке 4, рис. 33.), при которой достижения скачком падают, и мы попадаем в область обозначенную на рис. 32 словом «маньяки». Интересно, что скачки из состояния «гений» в состояние «маньяк» и обратно происходят на разных линиях, так что при достаточно большой увлеченности гений и маньяк могут иметь равные увлеченности и техники, различаясь лишь достижениями (и предысторией).